ensemble image de x/(6x-5) — solution étape par étape

1) Cherchons les valeurs réelles prises par

\frac{x}{6 x - 5}

, pour

x

réel

Cherchons le domaine de

\frac{x}{6 x - 5}

Pour que l'expression

\frac{x}{6 x - 5}

soit définie, on doit avoir :

6 x - 5 \neq 0

6 x \neq 5

Solution obtenue :

x \neq \frac{5}{6}

Le domaine de départ est

x \in ℝ \ {\frac{5}{6}}

On pose

y = \frac{x}{6 x - 5}

et on résout pour

x

. Le déterminant

-5

est non nul : la réciproque est unique

2) Résolvons dans

ℝ

\frac{x}{6 x - 5} = y

Additionnons les fractions :

\frac{x}{6 x - 5} - y = 0

\frac{x - y \cdot (6 x - 5)}{6 x - 5} = 0

3) Résolvons dans

ℝ

x - y \cdot (6 x - 5) = 0

x - (y \cdot 6 x + y \cdot (-5)) = 0

x - y \cdot 6 x - y \cdot (-5) = 0

x - y \cdot 6 x + y \cdot 5 = 0

x - y \cdot 6 x = - y \cdot 5

(1 - y \cdot 6) \cdot x = - y \cdot 5

x = \frac{- y \cdot 5}{1 - y \cdot 6}

x = - \frac{y \cdot 5}{1 - y \cdot 6}

x = \frac{y \cdot 5}{- 1 + y \cdot 6}

Solution obtenue :

x = \frac{5 y}{6 y - 1}

4) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons :

6 x - 5 \neq 0

6 x \neq 5

Solution exclue :

x \neq \frac{5}{6}

Chaque valeur du domaine de la réciproque est atteinte : son domaine donne donc l'ensemble image

5) Evaluons le domaine de

\frac{5 y}{6 y - 1}

Pour que l'expression

\frac{5 y}{6 y - 1}

existe, on doit vérifier :

6 y - 1 \neq 0

6 y \neq 1

Solution trouvée :

y \neq \frac{1}{6}

▶Ensemble image :

y \in ℝ \ {\frac{1}{6}}