ensemble image de xsqrt(36-x) — solution étape par étape

⚠ xsqrt(36-x) est lu comme x*sqrt(36-x) : utilisez * pour une multiplication, utilisez ^ pour une puissance

1) Cherchons les valeurs réelles prises par

x \cdot \sqrt{36 - x}

à l'aide de son tableau de variations

⇥Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = \sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

s'annule

⇥⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

\sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} = 0

⇥⇥On multiplie les deux membres par

2 \cdot \sqrt{36 - x}

, non nul pour que les fractions soient définies

⇥⇥

\sqrt{36 - x} \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x} = 0 \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}

⇥⇥ⓘ Multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants :

\sqrt{36 - x} \cdot \sqrt{36 - x}

36 - x

■Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}

\frac{x \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

■Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}

0

⇥⇥

(36 - x) \cdot 2 - \frac{x \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} = 0

⇥⇥ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

- \frac{x \cdot 2 \cdot \sqrt{36 - x}}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

\frac{2 \cdot (- x)}{2}

⇥⇥

(36 - x) \cdot 2 + \frac{2 \cdot (- x)}{2} = 0

⇥⇥ⓘ On place le signe moins devant le produit :

2 \cdot (- x)

- 2 x

⇥⇥

(36 - x) \cdot 2 - \frac{2 x}{2} = 0

⇥⇥ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{2 x}{2}

- x

⇥⇥

(36 - x) \cdot 2 - x = 0

⇥⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

(36 - x) \cdot 2

72 - x \cdot 2

⇥⇥

72 - x \cdot 2 - x = 0

⇥⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- x \cdot 2 - x

-3 x

⇥⇥ⅰ

\sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

72 - 3 x

⇥⇥

72 - 3 x = 0

⇥⇥ⓘ On ajoute

3 x

aux deux membres

⇥⇥

72 = 3 x

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

3

⇥⇥

x = \frac{72}{3}

⇥⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

3

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{72}{3}

24

⇥⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x = 24

⇥⇥1.2) Cherchons le domaine de

\sqrt{36 - x} - \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}} = 0

⇥⇥ Pour que l'expression

\sqrt{36 - x}

existe, on doit vérifier :

36 - x \geq 0

⇥⇥ Pour que l'expression

- \frac{x}{2 \cdot \sqrt{36 - x}}

existe, on doit vérifier :

2 \cdot \sqrt{36 - x} \neq 0

⇥⇥1.3) Résolvons dans

ℝ

36 - x \geq 0

⇥⇥ⓘ On ajoute

x

aux deux membres

⇥⇥

36 \geq x

⇥⇥Solution obtenue :

x \leq 36

⇥⇥1.4) Résolvons dans

ℝ

2 \cdot \sqrt{36 - x} \neq 0

⇥⇥On simplifie l'expression par

2

⇥⇥⇥Résolvons dans

ℝ

\sqrt{36 - x} \neq 0

⇥⇥⇥

\sqrt{36 - x} \neq 0

veut dire que :

36 - x > 0

⇥⇥⇥ⓘ On ajoute

x

aux deux membres

⇥⇥⇥

36 > x

⇥⇥⇥Solution obtenue :

x < 36

⇥⇥L'intersection de

x \leq 36

x < 36

donne

x < 36

⇥⇥Contraintes liées au domaine :

x < 36

⇥

f^{'} (x)

s'annule en

x = 24

⇥Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

⇥

f^{'} (0) = 6

> 0 :

f

est croissante sur

] -∞; 24 [

⇥

f^{'} (25) = - \frac{3 \cdot \sqrt{11}}{22}

< 0 :

f

est décroissante sur

] 24; 36 [

⇥Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

⇥Quand

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

-∞

⇥

f (24) = 24 \cdot \sqrt{36 - 24} = 48 \cdot \sqrt{3}

⇥

f (36) = 36 \cdot \sqrt{36 - 36} = 0

⇥Dressons le tableau de variations :

⇥

$x$	$-∞$		$24$		$36$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖
$f (x)$	$-∞$	↗	$48 \cdot \sqrt{3}$	↘	$0$

⇥Donc

f

est croissante sur

] -∞; 24]

et décroissante sur

[24; 36]

Sur

] -∞; 36]

f

est continue : elle prend toutes les valeurs de

] -∞; 48 \cdot \sqrt{3}]

▶Ensemble image :

] -∞; 48 \cdot \sqrt{3}]