extrema de f(x)=x^3-12x+2 — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

x^{3} - 12 x + 2

sur ℝ : la dérivée doit s'annuler et changer de signe

⇥1.1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{3} - 12 x + 2)

⇥

\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

⇥ℹ

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

‖

\frac{d}{d x} (- 12 x)

-12

⇥

3 x^{2} - 12

⇥La dérivée première est

3 x^{2} - 12

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

3 x^{2} - 12 = 0

⇥L'expression peut être factorisée en :

3 \cdot (x^{2} - 4) = 0

⇥Résolvons :

x^{2} - 4 = 0

⇥Solutions trouvées:

x = {-2, 2}

⇥1.3) Dérivons :

\frac{d}{d x} (3 x^{2} - 12)

⇥

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

⇥ℹ

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

‖

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

3 \cdot 2 x

⇥

6 x

⇥La dérivée seconde est

6 x

2) En

x = -2

, on calcule

f'' (-2) = 6 \cdot (-2) = -12

x = -2

, la dérivée seconde est négative : c'est un maximum local strict

⇥

{(-2)}^{3} - 12 \cdot (-2) + 2

⇥ℹ

{(-2)}^{3}

-8

‖

-12 \cdot (-2)

24

⇥

- 8 + 24 + 2

⇥

16 + 2

⇥

18

L'ordonnée est f(

-2

) =

18

3) En

x = 2

, on calcule

f'' (2) = 6 \cdot 2 = 12

x = 2

, la dérivée seconde est positive : c'est un minimum local strict

⇥

2^{3} - 12 \cdot 2 + 2

⇥ℹ

2^{3}

8

‖

-12 \cdot 2

-24

⇥

8 - 24 + 2

⇥

- 16 + 2

⇥

-14

L'ordonnée est f(

2

) =

-14

Ce polynôme de degré impair n'est borné ni en haut ni en bas sur ℝ : il n'a aucun extremum global

▶Extrema locaux stricts :

{(-2, 18), (2, -14)}