extrema f(x)=x+(16)/x — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

x + \frac{16}{x}

: ce sont les points du domaine où sa dérivée change de signe

⇥Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = 1 - \frac{16}{x^{2}}

s'annule

⇥⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

1 - \frac{16}{x^{2}} = 0

⇥⇥On multiplie les deux membres par

x^{2}

, non nul pour que les fractions soient définies

⇥⇥

x^{2} - \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2} = 0 \cdot x^{2}

⇥⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur :

\frac{16}{x^{2}} \cdot x^{2}

\frac{16 x^{2}}{x^{2}}

■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun :

- \frac{16 x^{2}}{x^{2}}

-16

■Un produit dont un facteur est nul est nul :

0 \cdot x^{2}

0

⇥⇥ⅰ

1 - \frac{16}{x^{2}}

x^{2} - 16

⇥⇥

x^{2} - 16 = 0

⇥⇥Les deux nombres dont le carré vaut

16

sont

-4

4

⇥⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x = {-4; 4}

⇥⇥1.2) Cherchons le domaine de

1 - \frac{16}{x^{2}} = 0

⇥⇥ Pour que l'expression

- \frac{16}{x^{2}}

soit définie, on doit avoir :

x^{2} \neq 0

⇥⇥

x^{2} \neq 0

veut dire que :

x \neq 0

⇥⇥Contraintes liées au domaine :

x \neq 0

⇥

f^{'} (x)

s'annule en

x = {-4; 4}

⇥Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

⇥

f^{'} (-5) = \frac{9}{25}

> 0 :

f

est croissante sur

] -∞; -4 [

⇥

f^{'} (-1) = -15

< 0 :

f

est décroissante sur

] -4; 0 [

⇥

f^{'} (1) = -15

< 0 :

f

est décroissante sur

] 0; 4 [

⇥

f^{'} (5) = \frac{9}{25}

> 0 :

f

est croissante sur

] 4; +∞ [

⇥Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

⇥Quand

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

-∞

⇥

f (-4) = - 4 + \frac{16}{-4} = -8

⇥Quand

x

s'approche de

0

par la gauche,

f (x)

tend vers

-∞

; par la droite, vers

+∞

⇥

f (4) = 4 + \frac{16}{4} = 8

⇥Quand

x

tend vers

+∞

f (x)

tend vers

+∞

⇥Dressons le tableau de variations :

⇥

$x$	$-∞$		$-4$		$0$		$4$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖	-	$0$	+
$f (x)$	$-∞$	↗	$-8$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$8$	↗	$+∞$

⇥Donc

f

est croissante sur

] -∞; -4]

, décroissante sur

[-4; 0 [

et sur

] 0; 4]

et croissante sur

[4; +∞ [

x = -4

f

' passe de + à - :

f

a un maximum local strict,

f (-4) = -8

x = 4

f

' passe de - à + :

f

a un minimum local strict,

f (4) = 8

▶Extrema locaux stricts :

{(-4; -8); (4; 8)}