extrema f(x)=x^4-4x^3+9 — solution étape par étape

⚠ 4x est lu comme le produit 4*x : pour une puissance, écrivez 4^x

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

x^{4} - 4 x^{3} + 9

sur ℝ : la dérivée doit s'annuler et changer de signe

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (x^{4} - 4 x^{3} + 9)

⇥

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + 0

⇥ℹ

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

‖

\frac{d}{d x} (- 4 x^{3})

-4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

‖

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

4 x^{3} - 4 \cdot 3 x^{2}

⇥

4 x^{3} - 12 x^{2}

⇥On peut factoriser l'expression en :

x^{2} \cdot (4 x - 12)

⇥1.2) Mettons en facteurs dans

ℝ

(4 x - 12)

⇥On peut factoriser l'expression en :

4 \cdot (x - 3)

⇥Facteur trouvé :

(x - 3)

⇥La dérivée première est

4 x^{2} \cdot (x - 3)

⇥1.3) Résolvons dans

ℝ

4 x^{2} \cdot (x - 3) = 0

⇥On peut simplifier l'expression par :

4

⇥Résolvons dans

ℝ

x^{2} = 0

⇥Solution trouvée :

x = 0

⇥Résolvons dans

ℝ

x - 3 = 0

⇥Solution trouvée :

x = 3

⇥1.4) Dérivons :

\frac{d}{d x} (4 x^{2} \cdot (x - 3))

⇥

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} \cdot (x - 3))

⇥Pour

U1

x^{2}

V2

x - 3

, on applique la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (U1 \cdot V2) = \frac{d}{d x} (U1) \cdot V2 + U1 \cdot \frac{d}{d x} (V2)

⇥1.5) Effectuons la dérivation

U1

\frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

2 x

⇥1.6) Effectuons la dérivation

V2

\frac{d}{d x} (x - 3)

⇥

1 + 0

⇥

1

⇥1.7) On évalue la dérivée résultante (

U1 \cdot V2

)' :

2 x \cdot (x - 3) + x^{2} \cdot 1

⇥

2 x \cdot (x - 3) + x^{2}

⇥

(2 x^{2} - 6 x) + x^{2}

⇥

3 x^{2} - 6 x

⇥1.8) Puis on reprend la dérivation :

⇥

4 \cdot (3 x^{2} - 6 x)

⇥

12 x^{2} - 24 x

⇥On peut mettre l'expression sous forme factorisée :

x \cdot (12 x - 24)

⇥1.9) Mettons en facteurs dans

ℝ

(12 x - 24)

⇥L'expression peut être factorisée en :

12 \cdot (x - 2)

⇥Facteur identifié :

(x - 2)

⇥La dérivée seconde est

12 x \cdot (x - 2)

2) En

x = 0

, on calcule

f'' (0) = 12 \cdot 0 \cdot (0 - 2) = 0

La première dérivée non nulle en ce point est d'ordre 3 et vaut

-24

x = 0

, le zéro de la dérivée est d'ordre pair : elle ne change pas de signe, donc ce n'est pas un extremum

3) En

x = 3

, on calcule

f'' (3) = 12 \cdot 3 \cdot (3 - 2) = 36

x = 3

, la dérivée seconde est positive : c'est un minimum local strict

⇥

3^{4} - 4 \cdot 3^{3} + 9

⇥ℹ

3^{4}

81

‖

3^{3}

27

⇥

81 - 4 \cdot 27 + 9

⇥ℹ

- 4 \cdot 27

-108

‖

81 + 9

90

⇥

90 - 108

⇥

-18

L'ordonnée est f(

3

) =

-18

Le polynôme tend vers +∞ aux deux infinis : cet unique extremum local est aussi global

▶Extrema locaux stricts :

{(3, -18)}