extrema x-8/(x^2)
1) Cherchons les extrema locaux stricts de x -8x2 : ce sont les points du domaine où sa dérivée change de signe
⇥Étudions les variations de f(x) : cherchons d'abord où sa dérivée f'(x) = 16x3 + 1 s'annule
⇥⇥1.1) Résolvons dans ℝ : 16x3 + 1 = 0
⇥⇥On multiplie les deux membres par x3, non nul pour que les fractions soient définies
⇥⇥ 16x3·x3 + x3 = 0·x3
⇥⇥ⓘ Multiplier une fraction par un terme revient à multiplier son numérateur : 16x3·x3 = 16x3x3■Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun x3 : 16x3x3 = 16■Un produit dont un facteur est nul est nul : 0·x3 = 0
⇥⇥ⅰ 16x3 + 1 = 16 + x3
⇥⇥ 16 + x3 = 0
⇥⇥On prend la racine : -163 = -2·23. La puissance étant impaire, x3 = -16 a une seule solution réelle, -2·23
⇥⇥Candidats, sous réserve du domaine : x = -2·23
⇥⇥1.2) Cherchons le domaine de 16x3 + 1 = 0
⇥⇥ Pour que l'expression 16x3 soit définie, on doit avoir : x3 ≠ 0
⇥⇥x3 ≠ 0 veut dire que : x ≠ 0
⇥⇥Contraintes liées au domaine : x ≠ 0
⇥f'(x) s'annule en x = -2·23
⇥Formée de fonctions usuelles, f'(x) est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point
⇥f'(-3) = 1127 > 0 : f est croissante sur ]-∞ ; -2·23[
⇥f'(-1) = -15 < 0 : f est décroissante sur ]-2·23 ; 0[
⇥f'(1) = 17 > 0 : f est croissante sur ]0 ; +∞[
⇥Calculons les valeurs de f aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues
⇥Quand x tend vers -∞, f(x) tend vers -∞
⇥f(-2·23) = -2·23 -8(-2·23)2 = -3·23
⇥Quand x s'approche de 0 par la gauche, f(x) tend vers -∞ ; par la droite, vers -∞
⇥Quand x tend vers +∞, f(x) tend vers +∞
⇥Dressons le tableau de variations :
⇥
x-∞-2·230+∞
f'(x)+0-‖+
f(x)-∞↗-3·23↘-∞ ‖ -∞↗+∞
⇥Donc f est croissante sur ]-∞ ; -2·23], décroissante sur [-2·23 ; 0[ et croissante sur ]0 ; +∞[
En x = -2·23, f' passe de + à - : f a un maximum local strict, f(-2·23) = -3·23
▶Extrema locaux stricts :   {(-2·23 ; -3·23)}