extremums de 4x(x^2-9) — solution étape par étape

Cherchons les extrema locaux stricts de

4 x \cdot (x^{2} - 9)

: ce sont les points du domaine où sa dérivée change de signe

⇥Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = 12 x^{2} - 36

s'annule

⇥Résolvons dans

ℝ

12 x^{2} - 36 = 0

⇥ⓘ On divise les deux membres par

12

⇥

x^{2} = 3

⇥Les deux nombres dont le carré vaut

3

sont

- \sqrt{3}

\sqrt{3}

⇥Solutions obtenues :

x = {- \sqrt{3}; \sqrt{3}}

⇥

f^{'} (x)

s'annule en

x = {- \sqrt{3}; \sqrt{3}}

⇥Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

⇥

f^{'} (-2) = 12

> 0 :

f

est croissante sur

] -∞; - \sqrt{3} [

⇥

f^{'} (0) = -36

< 0 :

f

est décroissante sur

] - \sqrt{3}; \sqrt{3} [

⇥

f^{'} (2) = 12

> 0 :

f

est croissante sur

] \sqrt{3}; +∞ [

⇥Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

⇥Quand

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

-∞

⇥

f (- \sqrt{3}) = 4 \cdot (- \sqrt{3}) \cdot ({(- \sqrt{3})}^{2} - 9) = 24 \cdot \sqrt{3}

⇥

f (\sqrt{3}) = 4 \cdot \sqrt{3} \cdot ({(\sqrt{3})}^{2} - 9) = - 24 \cdot \sqrt{3}

⇥Quand

x

tend vers

+∞

f (x)

tend vers

+∞

⇥Dressons le tableau de variations :

⇥

⇥Donc

f

est croissante sur

] -∞; - \sqrt{3}]

, décroissante sur

[- \sqrt{3}; \sqrt{3}]

et croissante sur

[\sqrt{3}; +∞ [

x = - \sqrt{3}

f

' passe de + à - :

f

a un maximum local strict,

f (- \sqrt{3}) = 24 \cdot \sqrt{3}

x = \sqrt{3}

f

' passe de - à + :

f

a un minimum local strict,

f (\sqrt{3}) = - 24 \cdot \sqrt{3}

▶Extrema locaux stricts :

{(- \sqrt{3}; 24 \cdot \sqrt{3}); (\sqrt{3}; - 24 \cdot \sqrt{3})}