extremums de 60x^2-20x^3 — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

60 x^{2} - 20 x^{3}

sur ℝ : la dérivée doit s'annuler et changer de signe

⇥1.1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (60 x^{2} - 20 x^{3})

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (60 x^{2} - 20 x^{3})

\frac{d}{d x} (60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})

⇥

\frac{d}{d x} (60 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (60 x^{2})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (- 20 x^{3})

-20 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

60 \cdot 2 x - 20 \cdot 3 x^{2}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

60 \cdot 2

120

20 \cdot 3

60

⇥

120 x - 60 x^{2}

⇥On peut mettre l'expression sous forme factorisée :

x \cdot (120 - 60 x)

⇥Mettons en facteurs dans

ℝ

(120 - 60 x)

⇥On met en facteur

60

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

120 - 60 x

60 \cdot (2 - x)

⇥Facteur trouvé :

2 - x

⇥La dérivée première est

60 x \cdot (2 - x)

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

60 x \cdot (2 - x) = 0

⇥On simplifie l'expression par

60

⇥Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0

⇥⇥Résolvons dans

ℝ

x = 0

⇥⇥Solution trouvée :

x = 0

⇥⇥Résolvons dans

ℝ

2 - x = 0

⇥⇥Solution obtenue :

x = 2

⇥1.3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (60 x \cdot (2 - x))

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (60 x \cdot (2 - x))

60 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

⇥

60 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

⇥Pour

u1

x

v2

2 - x

, on utilise la formule de dérivation :

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

⇥1.4) Effectuons la dérivation

u1

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥1.5) Dérivons

v2

\frac{d}{d x} (2 - x)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (2 - x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

⇥

0 + \frac{d}{d x} (- x)

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (- x)

\frac{d}{d x} (- x)

■La dérivée de x est 1 :

\frac{d}{d x} (- x)

-1

⇥

-1

⇥1.6) On évalue la dérivée résultante (

u1 \cdot v2

)' :

1 \cdot (2 - x) + x \cdot (-1)

⇥ⓘ Multiplier par -1 donne l'opposé :

x \cdot (-1)

- x

⇥

2 - x - x

⇥ⓘ On regroupe les termes semblables en additionnant leurs coefficients :

- x - x

-2 x

⇥

2 - 2 x

⇥1.7) Puis on reprend la dérivation :

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

2 - 2 x

⇥

60 \cdot (2 - 2 x)

⇥ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

60 \cdot (2 - 2 x)

120 - 120 x

⇥

120 - 120 x

⇥On met en facteur

120

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

120 - 120 x

120 \cdot (1 - x)

⇥Facteur identifié :

1 - x

⇥La dérivée seconde est

120 \cdot (1 - x)

2) En

x = 0

, on calcule

f^{''} (0) = 120 \cdot (1 + 0) = 120

x = 0

, la dérivée seconde est positive : c'est un minimum local strict

⇥

60 \cdot 0^{2} - 20 \cdot 0^{3}

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

60 \cdot 0

0

-20 \cdot 0

0

⇥

0 + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 0

0

⇥

0

L'ordonnée est f(

0

) =

0

3) En

x = 2

, on calcule

f^{''} (2) = 120 \cdot (1 - 2) = -120

x = 2

, la dérivée seconde est négative : c'est un maximum local strict

⇥

60 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2^{3}

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

⇥

60 \cdot 4 - 20 \cdot 8

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

60 \cdot 4

240

20 \cdot 8

160

⇥

240 - 160

⇥ⓘ On part de

240

et on recule de

160

sur la droite des nombres :

240 - 160

80

⇥

80

L'ordonnée est f(

2

) =

80

Ce polynôme de degré impair n'est borné ni en haut ni en bas sur ℝ : il n'a aucun extremum global

▶Extrema locaux stricts :

{(0; 0); (2; 80)}