extremums de f(t)=t^3-12t+2 — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

t^{3} - 12 t + 2

sur ℝ : la dérivée doit s'annuler et changer de signe

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d t} (t^{3} - 12 t + 2)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d t} (t^{3} - 12 t + 2)

\frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 12 t) + 0

⇥

\frac{d}{d t} (t^{3}) + \frac{d}{d t} (- 12 t) + 0

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d t} (t^{3})

3 t^{2}

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d t} (- 12 t) + 0

\frac{d}{d t} (- 12 t)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d t} (- 12 t)

-12

⇥

3 t^{2} - 12

⇥La dérivée première est

3 t^{2} - 12

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

3 t^{2} - 12 = 0

⇥ⓘ On divise les deux membres par

3

⇥

t^{2} = 4

⇥Les deux nombres dont le carré vaut

4

sont

-2

2

⇥Solutions obtenues :

t = {-2; 2}

⇥1.3) Dérivons :

\frac{d}{d t} (3 t^{2} - 12)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d t} (3 t^{2} - 12)

\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + 0

\frac{d}{d t} (3 t^{2})

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d t} (3 t^{2})

3 \cdot \frac{d}{d t} (t^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d t} (t^{2})

2 t

⇥

3 \cdot 2 t

⇥ⅰ

3 \cdot 2

6

⇥

6 t

⇥La dérivée seconde est

6 t

2) En

t = -2

, on calcule

f^{''} (-2) = 6 \cdot (-2) = -12

t = -2

, la dérivée seconde est négative : c'est un maximum local strict

⇥

{(-2)}^{3} - 12 \cdot (-2) + 2

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{3}

(-2) \cdot (-2) \cdot (-2)

-8

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-12 \cdot (-2)

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

- 8 + 24 + 2

⇥ⓘ On part de

-8

et on avance de

24

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 8 + 24

16

⇥

16 + 2

⇥ⓘ On part de

16

et on avance de

2

sur la droite des nombres :

16 + 2

18

⇥

18

L'ordonnée est f(

-2

) =

18

3) En

t = 2

, on calcule

f^{''} (2) = 6 \cdot 2 = 12

t = 2

, la dérivée seconde est positive : c'est un minimum local strict

⇥

2^{3} - 12 \cdot 2 + 2

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

12 \cdot 2

(10 + 2) \cdot 2

10 \cdot 2 + 2 \cdot 2

20 + 4

24

⇥

8 - 24 + 2

⇥ⓘ On part de

8

et on recule de

24

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

8 - 24

-16

⇥

- 16 + 2

⇥ⓘ On part de

-16

et on avance de

2

sur la droite des nombres, en se rapprochant de zéro :

- 16 + 2

-14

⇥

-14

L'ordonnée est f(

2

) =

-14

Ce polynôme de degré impair n'est borné ni en haut ni en bas sur ℝ : il n'a aucun extremum global

▶Extrema locaux stricts :

{(-2; 18); (2; -14)}