extremums de f(x)=5x^2+6x-7 — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

5 x^{2} + 6 x - 7

sur ℝ : la dérivée doit s'annuler et changer de signe

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 6 x - 7)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (5 x^{2} + 6 x - 7)

\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (5 x^{2})

5 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (6 x)

6

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

\frac{d}{d x} (6 x)

⇥

5 \cdot 2 x + 6

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

5 \cdot 2

10

⇥

10 x + 6

⇥La dérivée première est

10 x + 6

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

10 x + 6 = 0

⇥ⓘ On soustrait

6

aux deux membres

⇥

10 x = -6

⇥ⓘ On divise les deux membres par

10

⇥

x = - \frac{6}{10}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{6}{10}

- \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2}

- \frac{3}{5}

⇥Solution trouvée :

x = - \frac{3}{5}

⇥1.3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (10 x + 6)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (10 x + 6)

\frac{d}{d x} (10 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (10 x) + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (10 x) + 0

\frac{d}{d x} (10 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (10 x)

10

⇥

10

⇥La dérivée seconde est

10

2) En

x = - \frac{3}{5}

, on calcule

f^{''} (- \frac{3}{5}) = 10

x = - \frac{3}{5}

, la dérivée seconde est positive : c'est un minimum local strict

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} + 6 \cdot (- \frac{3}{5}) - 7

⇥ⓘ On place le signe moins devant le produit :

6 \cdot (- \frac{3}{5})

- 6 \cdot \frac{3}{5}

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} - 6 \cdot \frac{3}{5} - 7

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

6 \cdot \frac{3}{5}

\frac{6 \cdot 3}{5}

\frac{18}{5}

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} - \frac{18}{5} - 7

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs :

- \frac{18}{5} - 7

\frac{- 18 - 7 \cdot 5}{5}

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} + \frac{- 18 - 7 \cdot 5}{5}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

7 \cdot 5

35

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} + \frac{- 18 - 35}{5}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 18 - 35

-53

⇥

5 \cdot {(- \frac{3}{5})}^{2} - \frac{53}{5}

⇥ⓘ La puissance d'un quotient est le quotient des puissances, (a/b)^n = a^n/b^n :

{(- \frac{3}{5})}^{2}

\frac{{(-3)}^{2}}{5^{2}}

⇥

5 \cdot \frac{{(-3)}^{2}}{5^{2}} - \frac{53}{5}

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

5^{2}

5 \cdot 5

25

⇥

5 \cdot \frac{9}{25} - \frac{53}{5}

⇥ⓘ Multiplier une fraction par un nombre revient à multiplier son numérateur :

5 \cdot \frac{9}{25}

\frac{5 \cdot 9}{25}

\frac{45}{25}

⇥

\frac{45}{25} - \frac{53}{5}

⇥ⓘ Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur puis on additionne les numérateurs. On choisit

25

, le plus petit commun multiple de

25

5

. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la fraction :

\frac{45}{25} - \frac{53}{5}

\frac{45}{25} + \frac{-53 \cdot 5}{5 \cdot 5}

\frac{45 - 53 \cdot 5}{25}

⇥

\frac{45 - 53 \cdot 5}{25}

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

53 \cdot 5

(50 + 3) \cdot 5

50 \cdot 5 + 3 \cdot 5

250 + 15

265

⇥

\frac{45 - 265}{25}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

45 - 265

-220

⇥

- \frac{220}{25}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

5

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{220}{25}

- \frac{44 \cdot 5}{5 \cdot 5}

- \frac{44}{5}

⇥

- \frac{44}{5}

L'ordonnée est f(

- \frac{3}{5}

) =

- \frac{44}{5}

▶Extrema locaux stricts :

{(- \frac{3}{5}; - \frac{44}{5})}