extremums de f(x)=-2x^2-12x-16 — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

- 2 x^{2} - 12 x - 16

sur ℝ : la dérivée doit s'annuler et changer de signe

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 12 x - 16)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2} - 12 x - 16)

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (- 12 x)

-12

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (- 12 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 12 x)

⇥

- 2 \cdot 2 x - 12

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

⇥

- 4 x - 12

⇥La dérivée première est

- 4 x - 12

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

- 4 x - 12 = 0

⇥ⓘ On ajoute

4 x

aux deux membres

⇥

-12 = 4 x

⇥ⓘ On divise les deux membres par

4

⇥

x = - \frac{12}{4}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{12}{4}

-3

⇥Solution obtenue :

x = -3

⇥1.3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (- 4 x - 12)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (- 4 x - 12)

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 4 x)

-4

⇥

-4

⇥La dérivée seconde est

-4

2) En

x = -3

, on calcule

f^{''} (-3) = -4

x = -3

, la dérivée seconde est négative : c'est un maximum local strict

⇥

- 2 \cdot {(-3)}^{2} - 12 \cdot (-3) - 16

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-12 \cdot (-3)

12 \cdot 3

(10 + 2) \cdot 3

10 \cdot 3 + 2 \cdot 3

30 + 6

36

⇥

- 2 \cdot 9 + 36 - 16

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 9

18

■On part de

36

et on recule de

16

sur la droite des nombres :

36 - 16

20

⇥

- 18 + 20

⇥ⓘ On part de

-18

et on avance de

20

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 18 + 20

2

⇥

2

L'ordonnée est f(

-3

) =

2

▶Extrema locaux stricts :

{(-3; 2)}