extremums de f(x)=(e^x)/(5+e^x) — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

\frac{e^{x}}{5 + e^{x}}

: ce sont les points du domaine où sa dérivée change de signe

⇥Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = \frac{5 e^{x}}{{(e^{x} + 5)}^{2}}

s'annule

⇥Résolvons dans

ℝ

\frac{5 e^{x}}{{(e^{x} + 5)}^{2}} = 0

⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

5 e^{x} = 0

⇥⇥On simplifie l'expression par

5

⇥⇥⇥Résolvons dans

ℝ

e^{x} = 0

⇥⇥⇥Dans ℝ, la fonction exponentielle est strictement positive :

e^{x} > 0

, donc

e^{x} = 0

n'a pas de solution

⇥⇥⇥Solution :

x \in \emptyset

⇥⇥1.2) Pour éviter un dénominateur nul, résolvons :

{(e^{x} + 5)}^{2} \neq 0

⇥⇥

{(e^{x} + 5)}^{2} \neq 0

veut dire que :

e^{x} + 5 \neq 0

⇥⇥

e^{x} \neq -5

⇥⇥Dans ℝ, la fonction exponentielle est strictement positive :

e^{x} > 0

, donc

e^{x} \neq -5

est vraie pour tout

x

⇥⇥Solution obtenue :

x \in ℝ

⇥

f^{'} (x)

ne s'annule pas sur le domaine de

f

⇥Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

⇥

f^{'} (0) = \frac{5}{36}

> 0 :

f

est croissante sur

ℝ

⇥Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

⇥Quand

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

0

⇥Quand

x

tend vers

+∞

f (x)

tend vers

1

⇥Dressons le tableau de variations :

⇥

⇥Donc

f

est croissante sur

ℝ

La dérivée ne change de signe en aucun point du domaine : il n'y a aucun extremum local strict

▶Extrema locaux stricts :

\emptyset