extremums de f(x)=((x^2-1))/(x^2+1)
1) Cherchons les extrema locaux stricts de x2 -1x2 + 1 : ce sont les points du domaine où sa dérivée change de signe
⇥Étudions les variations de f(x) : cherchons d'abord où sa dérivée f'(x) = 4x(x2 + 1)2 s'annule
⇥Résolvons dans ℝ : 4x(x2 + 1)2 = 0
⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0
⇥⇥1.1) Résolvons dans ℝ : 4x = 0
⇥⇥On simplifie l'expression par 4
⇥⇥⇥Résolvons dans ℝ : x = 0
⇥⇥⇥Solution obtenue : x = 0
⇥⇥1.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons : (x2 + 1)2 ≠ 0
⇥⇥(x2 + 1)2 ≠ 0 équivaut à : x2 + 1 ≠ 0
⇥⇥ x2 ≠ -1
⇥⇥Dans ℝ, un carré n'est jamais négatif : aucun nombre réel n'a pour carré -1
⇥⇥Solution : x ∈ ∅
⇥f'(x) s'annule en x = 0
⇥Formée de fonctions usuelles, f'(x) est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point
⇥f'(-1) = -1 < 0 : f est décroissante sur ]-∞ ; 0[
⇥f'(1) = 1 > 0 : f est croissante sur ]0 ; +∞[
⇥Calculons les valeurs de f aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues
⇥Quand x tend vers -∞, f(x) tend vers 1
⇥f(0) = 02 -102 + 1 = -1
⇥Quand x tend vers +∞, f(x) tend vers 1
⇥Dressons le tableau de variations :
⇥
x-∞0+∞
f'(x)-0+
f(x)1↘-1↗1
⇥Donc f est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[
En x = 0, f' passe de - à + : f a un minimum local strict, f(0) = -1
▶Extrema locaux stricts :   {(0 ; -1)}