extremums de f(x)=(x^2+x+1)/x — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

\frac{x^{2} + x + 1}{x}

: ce sont les points du domaine où sa dérivée change de signe

⇥Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}

s'annule

⇥Résolvons dans

ℝ

\frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = 0

⇥Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur non nul : on résout le numérateur égal à 0

⇥⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 1 = 0

⇥⇥Les deux nombres dont le carré vaut

1

sont

-1

1

⇥⇥Candidats, sous réserve du domaine :

x = {-1; 1}

⇥⇥1.2) Pour éviter un dénominateur nul, résolvons :

x^{2} \neq 0

⇥⇥

x^{2} \neq 0

veut dire que :

x \neq 0

⇥⇥Condition de définition :

x \neq 0

⇥ Pour que l'expression

\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}

soit définie, on doit avoir :

x^{2} \neq 0

⇥Contraintes liées au domaine :

x \neq 0

⇥

f^{'} (x)

s'annule en

x = {-1; 1}

⇥Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

⇥

f^{'} (-2) = \frac{3}{4}

> 0 :

f

est croissante sur

] -∞; -1 [

⇥

f^{'} (- \frac{1}{2}) = -3

< 0 :

f

est décroissante sur

] -1; 0 [

⇥

f^{'} (\frac{1}{2}) = -3

< 0 :

f

est décroissante sur

] 0; 1 [

⇥

f^{'} (2) = \frac{3}{4}

> 0 :

f

est croissante sur

] 1; +∞ [

⇥Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

⇥Quand

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

-∞

⇥

f (-1) = \frac{{(-1)}^{2} - 1 + 1}{-1} = -1

⇥Quand

x

s'approche de

0

par la gauche,

f (x)

tend vers

-∞

; par la droite, vers

+∞

⇥

f (1) = \frac{1^{2} + 1 + 1}{1} = 3

⇥Quand

x

tend vers

+∞

f (x)

tend vers

+∞

⇥Dressons le tableau de variations :

⇥

$x$	$-∞$		$-1$		$0$		$1$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	‖	-	$0$	+
$f (x)$	$-∞$	↗	$-1$	↘	$-∞$ ‖ $+∞$	↘	$3$	↗	$+∞$

⇥Donc

f

est croissante sur

] -∞; -1]

, décroissante sur

[-1; 0 [

et sur

] 0; 1]

et croissante sur

[1; +∞ [

x = -1

f

' passe de + à - :

f

a un maximum local strict,

f (-1) = -1

x = 1

f

' passe de - à + :

f

a un minimum local strict,

f (1) = 3

▶Extrema locaux stricts :

{(-1; -1); (1; 3)}