extremums de f(x)=(x^3)/3-2x^2+4x+3

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

\frac{x^{3}}{3}

- 2 x^{2}

+ 4 x

+ 3

sur ℝ : la dérivée doit s'annuler et changer de signe

⇥1.1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x + 3)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x + 3)

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3})

+ \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (4 x)

+ 0

⇥

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3})

+ \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (4 x)

+ 0

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u'. La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3})

\frac{1}{3} \cdot 3 x^{2}

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (4 x)

4

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (4 x) + 0

\frac{d}{d x} (4 x)

⇥

\frac{1}{3} \cdot 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x + 4

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

\frac{1}{3} \cdot 3

1

2 \cdot 2

4

■Multiplier par 1 ne change rien :

1 \cdot x^{2}

x^{2}

⇥

x^{2} - 4 x + 4

⇥La dérivée première est

x^{2} - 4 x + 4

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

x^{2} - 4 x + 4 = 0

⇥On peut reformuler l'expression en :

{(x - 2)}^{2}

⇥

{(x - 2)}^{2} = 0

veut dire que :

x - 2 = 0

⇥ⓘ On ajoute

2

aux deux membres

⇥Solution obtenue :

x = 2

⇥1.3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 4)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 4)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (- 4 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 4 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 4 x)

-4

⇥

2 x - 4

⇥La dérivée seconde est

2 x - 4

2) En

x = 2

, on calcule

f^{''} (2) = 2 \cdot 2 - 4 = 0

x = 2

, le zéro de la dérivée est d'ordre pair : elle ne change pas de signe, donc ce n'est pas un extremum

Ce polynôme de degré impair n'est borné ni en haut ni en bas sur ℝ : il n'a aucun extremum global

▶Extrema locaux stricts :

\emptyset