extremums de f(x)=x^2e^x-4 — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

x^{2} e^{x} - 4

: ce sont les points du domaine où sa dérivée change de signe

⇥Étudions les variations de

f (x)

: cherchons d'abord où sa dérivée

f^{'} (x) = e^{x} x \cdot (x + 2)

s'annule

⇥Résolvons dans

ℝ

e^{x} x \cdot (x + 2) = 0

⇥Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0

⇥⇥1.1) Résolvons dans

ℝ

e^{x} = 0

⇥⇥Dans ℝ, la fonction exponentielle est strictement positive :

e^{x} > 0

, donc

e^{x} = 0

n'a pas de solution

⇥⇥Solution :

x \in \emptyset

⇥⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

x = 0

⇥⇥Solution obtenue :

x = 0

⇥⇥1.3) Résolvons dans

ℝ

x + 2 = 0

⇥⇥Solution trouvée :

x = -2

⇥

f^{'} (x)

s'annule en

x = {-2; 0}

⇥Formée de fonctions usuelles,

f^{'} (x)

est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point

⇥

f^{'} (-3) = \frac{3}{e^{3}}

> 0 :

f

est croissante sur

] -∞; -2 [

⇥

f^{'} (-1) = - \frac{1}{e}

< 0 :

f

est décroissante sur

] -2; 0 [

⇥

f^{'} (1) = e \cdot 3

> 0 :

f

est croissante sur

] 0; +∞ [

⇥Calculons les valeurs de

f

aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues

⇥Quand

x

tend vers

-∞

f (x)

tend vers

-4

⇥

f (-2) = {(-2)}^{2} \cdot e^{-2} - 4 = \frac{4}{e^{2}} - 4

⇥

f (0) = 0^{2} \cdot e^{0} - 4 = -4

⇥Quand

x

tend vers

+∞

f (x)

tend vers

+∞

⇥Dressons le tableau de variations :

⇥

$x$	$-∞$		$-2$		$0$		$+∞$
$f^{'} (x)$		+	$0$	-	$0$	+
$f (x)$	$-4$	↗	$\frac{4}{e^{2}} - 4$	↘	$-4$	↗	$+∞$

⇥Donc

f

est croissante sur

] -∞; -2]

, décroissante sur

[-2; 0]

et croissante sur

[0; +∞ [

x = -2

f

' passe de + à - :

f

a un maximum local strict,

f (-2) = \frac{4}{e^{2}} - 4

x = 0

f

' passe de - à + :

f

a un minimum local strict,

f (0) = -4

▶Extrema locaux stricts :

{(-2; \frac{4}{e^{2}} - 4); (0; -4)}