extremums de -x^2+2x+3 — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

- x^{2} + 2 x + 3

sur ℝ : la dérivée doit s'annuler et changer de signe

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (- x^{2} + 2 x + 3)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (- x^{2} + 2 x + 3)

\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (- x^{2})

- 2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

- 2 x + 2

⇥La dérivée première est

2 - 2 x

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

2 - 2 x = 0

⇥ⓘ On ajoute

2 x

aux deux membres

⇥

2 = 2 x

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥

x = \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

⇥Solution trouvée :

x = 1

⇥1.3) Dérivons :

\frac{d}{d x} (2 - 2 x)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (2 - 2 x)

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)

⇥

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)

\frac{d}{d x} (- 2 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 2 x)

-2

⇥

-2

⇥La dérivée seconde est

-2

2) En

x = 1

, on calcule

f^{''} (1) = -2

x = 1

, la dérivée seconde est négative : c'est un maximum local strict

⇥

- 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3

⇥

- 1 + 2 + 3

⇥ⓘ On part de

-1

et on avance de

2

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 1 + 2

1

⇥

1 + 3

⇥ⓘ On part de

1

et on avance de

3

sur la droite des nombres :

1 + 3

4

⇥

4

L'ordonnée est f(

1

) =

4

▶Extrema locaux stricts :

{(1; 4)}