extremums de x^2+2x+3 — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

x^{2} + 2 x + 3

sur ℝ : la dérivée doit s'annuler et changer de signe

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 3)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x + 3)

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

2 x + 2

⇥La dérivée première est

2 x + 2

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

2 x + 2 = 0

⇥ⓘ On soustrait

2

aux deux membres

⇥

2 x = -2

⇥ⓘ On divise les deux membres par

2

⇥

x = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

⇥Solution obtenue :

x = -1

⇥1.3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (2 x + 2)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (2 x + 2)

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

\frac{d}{d x} (2 x) + 0

\frac{d}{d x} (2 x)

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (2 x)

2

⇥

2

⇥La dérivée seconde est

2

2) En

x = -1

, on calcule

f^{''} (-1) = 2

x = -1

, la dérivée seconde est positive : c'est un minimum local strict

⇥

{(-1)}^{2} + 2 \cdot (-1) + 3

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-1)

-2

⇥

1 - 2 + 3

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

2

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

1 - 2

-1

⇥

- 1 + 3

⇥ⓘ On part de

-1

et on avance de

3

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 1 + 3

2

⇥

2

L'ordonnée est f(

-1

) =

2

▶Extrema locaux stricts :

{(-1; 2)}