extremums de x^3 — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

x^{3}

sur ℝ : la dérivée doit s'annuler et changer de signe

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (x^{3})

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

3 x^{2}

⇥La dérivée première est

3 x^{2}

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

3 x^{2} = 0

⇥On simplifie l'expression par

3

⇥⇥Résolvons dans

ℝ

x^{2} = 0

⇥⇥

x^{2} = 0

équivaut à :

x = 0

⇥⇥Solution trouvée :

x = 0

⇥1.3) Dérivons :

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

3 \cdot 2 x

⇥ⅰ

3 \cdot 2

6

⇥

6 x

⇥La dérivée seconde est

6 x

2) En

x = 0

, on calcule

f^{''} (0) = 6 \cdot 0 = 0

x = 0

, le zéro de la dérivée est d'ordre pair : elle ne change pas de signe, donc ce n'est pas un extremum

Ce polynôme de degré impair n'est borné ni en haut ni en bas sur ℝ : il n'a aucun extremum global

▶Extrema locaux stricts :

\emptyset