extremums de x^4-2x^2 — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

x^{4} - 2 x^{2}

sur ℝ : la dérivée doit s'annuler et changer de signe

⇥1.1) Dérivons :

\frac{d}{d x} (x^{4} - 2 x^{2})

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (x^{4} - 2 x^{2})

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

⇥

\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (- 2 x^{2})

-2 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

4 x^{3} - 2 \cdot 2 x

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 2

4

⇥

4 x^{3} - 4 x

⇥La dérivée première est

4 x^{3} - 4 x

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

4 x^{3} - 4 x = 0

⇥On peut écrire l'expression :

4 x^{3} - 4 x

sous la forme factorisée :

x \cdot (4 x^{2} - 4)

⇥Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : on résout chaque facteur égal à 0

⇥⇥Résolvons dans

ℝ

x = 0

⇥⇥Solution trouvée :

x = 0

⇥⇥Résolvons dans

ℝ

4 x^{2} - 4 = 0

⇥⇥ⓘ On divise les deux membres par

4

⇥⇥

x^{2} = 1

⇥⇥Les deux nombres dont le carré vaut

1

sont

-1

1

⇥⇥Solutions trouvées :

x = {-1; 1}

⇥1.3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 4 x)

⇥ⓘ La dérivée d'une somme est la somme des dérivées :

\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 4 x)

\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)

⇥

\frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 4 x)

-4

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

4 \cdot 3 x^{2} - 4

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

⇥

12 x^{2} - 4

⇥La dérivée seconde est

12 x^{2} - 4

2) En

x = -1

, on calcule

f^{''} (-1) = 12 \cdot {(-1)}^{2} - 4 = 8

x = -1

, la dérivée seconde est positive : c'est un minimum local strict

⇥

{(-1)}^{4} - 2 \cdot {(-1)}^{2}

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{4}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplier par 1 ne change rien :

2 \cdot 1

2

⇥

1 - 2

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

2

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

1 - 2

-1

⇥

-1

L'ordonnée est f(

-1

) =

-1

3) En

x = 0

, on calcule

f^{''} (0) = 12 \cdot 0^{2} - 4 = -4

x = 0

, la dérivée seconde est négative : c'est un maximum local strict

⇥

0^{4} - 2 \cdot 0^{2}

⇥ⓘ Un produit dont un facteur est nul est nul :

-2 \cdot 0

0

■Additionner 0 ne change rien :

0 + 0

0

⇥

0

L'ordonnée est f(

0

) =

0

4) En

x = 1

, on calcule

f^{''} (1) = 12 \cdot 1^{2} - 4 = 8

x = 1

, la dérivée seconde est positive : c'est un minimum local strict

⇥

1^{4} - 2 \cdot 1^{2}

⇥

1 - 2

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

2

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

1 - 2

-1

⇥

-1

L'ordonnée est f(

1

) =

-1

▶Extrema locaux stricts :

{(-1; -1); (0; 0); (1; -1)}