extremums de x^4 — solution étape par étape

1) Cherchons les extrema locaux stricts de

x^{4}

sur ℝ : la dérivée doit s'annuler et changer de signe

⇥1.1) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (x^{4})

⇥ⓘ La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

⇥

4 x^{3}

⇥La dérivée première est

4 x^{3}

⇥1.2) Résolvons dans

ℝ

4 x^{3} = 0

⇥On simplifie l'expression par

4

⇥⇥Résolvons dans

ℝ

x^{3} = 0

⇥⇥

x^{3} = 0

veut dire que :

x = 0

⇥⇥Solution obtenue :

x = 0

⇥1.3) Effectuons la dérivation :

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

⇥ⓘ Un facteur constant se garde devant la dérivée, (k*u)' = k*u' :

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

■La dérivée de x^n est n*x^(n-1) :

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

4 \cdot 3 x^{2}

⇥ⅰ

4 \cdot 3

12

⇥

12 x^{2}

⇥La dérivée seconde est

12 x^{2}

2) En

x = 0

, on calcule

f^{''} (0) = 12 \cdot 0^{2} = 0

La première dérivée non nulle en ce point est d'ordre 4 et vaut

24

La première dérivée non nulle est d'ordre pair et positive : c'est un minimum local strict

⇥

0^{4}

⇥

0

L'ordonnée est f(

0

) =

0

Le polynôme tend vers +∞ aux deux infinis : cet unique extremum local est aussi global

▶Extrema locaux stricts :

{(0; 0)}