f(x)=ln(x)
On sauvegarde la définition : f(x) = ln(x)
Étudions la fonction f(x) = ln(x)
1) Évaluons le domaine de ln(x)
Pour que l'expression ln(x) existe, on doit vérifier : x > 0
Solution obtenue : x > 0
Domaine de définition :   x > 0
2) Étudions la parité de ln(x) par rapport à x
Le domaine est x > 0
Ce domaine n'est pas symétrique par rapport à 0 : la fonction n'est ni paire ni impaire
Parité :   ni paire ni impaire
3) Dérivabilité
Dérivée :   1x
4) Étudions les variations de f(x) : cherchons d'abord où sa dérivée f'(x) = 1x s'annule
Résolvons dans ℝ : 1x = 0
⇥4.1) Résolvons dans ℝ : 1 = 0
⇥L'affirmation 1 = 0 est fausse, quelle que soit la valeur de x
⇥Solution : x ∈ ∅
⇥4.2) Pour éviter que le dénominateur soit zéro, résolvons : x ≠ 0
Pour que l'expression 1x soit définie, on doit avoir : x ≠ 0
Contraintes liées au domaine : x ≠ 0
f'(x) ne s'annule pas sur le domaine de f
Formée de fonctions usuelles, f'(x) est continue là où elle est définie : sur chaque intervalle où elle ne s'annule pas, elle garde le signe de sa valeur en un point
f'(1) = 1 > 0 : f est croissante sur ]0 ; +∞[
Calculons les valeurs de f aux bornes du tableau, ou ses limites aux bornes infinies ou exclues
Quand x s'approche de 0 par la droite, f(x) tend vers -∞
Quand x tend vers +∞, f(x) tend vers +∞
Dressons le tableau de variations :
x0+∞
f'(x)‖+
f(x)‖ -∞↗+∞
Donc f est croissante sur ]0 ; +∞[
5) Lisons l'ensemble image dans le tableau de variations
⇥Sur ]0 ; +∞[, f est continue : elle prend toutes les valeurs de ℝ
Ensemble image :   ℝ
6) Sur l'axe des abscisses, y = 0 : résolvons ln(x) = 0
Résolvons dans ℝ : ln(x) = 0
Sur le domaine du logarithme, ln est strictement croissante : ln(x) = 0 équivaut à x = 1
Candidats, sous réserve du domaine : x = 1
Pour que l'expression ln(x) soit définie, on doit avoir : x > 0
Contraintes liées au domaine : x > 0
La courbe coupe l'axe des abscisses en (1 ; 0)
x = 0 n'est pas dans le domaine : la courbe ne coupe pas l'axe des ordonnées
Intersections avec les axes :   (1 ; 0)
7) Cherchons les asymptotes de ln(x), pour x réel
La fonction est définie sur ]0 ; +∞[ : une asymptote verticale ne peut se trouver qu'en une borne finie de ce domaine
Quand x s'approche de 0 par la droite, la fonction tend vers -∞
La fonction tend vers l'infini : la droite x = 0 est une asymptote verticale
Quand x tend vers +∞, la fonction tend vers +∞ et f(x)x tend vers 0 : pas d'asymptote horizontale ni oblique en +∞
🖼/draw?f1=ln%28x%29&v=x&x2=0&b=-10.0&e=10.0&min=-0.21972245773362198&max=2.4169470350698417&dash=2
Asymptotes :   x = 0
▶Étude de f(x) : Domaine de définition : x > 0 ; Parité : ni paire ni impaire ; Dérivée : 1x ; Variations : croissante sur ]0 ; +∞[ ; Ensemble image : ℝ ; Intersections avec les axes : (1 ; 0) ; Asymptotes : x = 0