1) Mettons en facteurs dans $ℝ$ : $11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11$

⇥1.1) Essayons d'abord la valeur évidente : $x=-11$

⇥Calculons la valeur de : $11·{\left(-11\right)}^3$$+125·{\left(-11\right)}^2$$+45·\left(-11\right)$$+11$

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété : ${\left(-11\right)}^3$ = $\left(-11\right)·\left(-11\right)·\left(-11\right)$ = $-1331$, ${\left(-11\right)}^2$ = $\left(-11\right)·\left(-11\right)$ = $121$■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif : $45·\left(-11\right)$ = $-45·11$ = $-45·(10+1)$ = $-(45·10+45)$ = $-(450+45)$ = $-495$

⇥ $11·\left(-1331\right)$$+125·121$$-495$$+11$

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif : $11·\left(-1331\right)$ = $-11·1331$ = $-(10+1)·1331$ = $-(10·1331+1331)$ = $-(\mathrm{13\; 310}+1331)$ = $\mathrm{-14\; 641}$■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions : $125·121$ = $125·(100+20+1)$ = $125·100+125·20+125$ = $\mathrm{12\; 500}+2500+125$ = $\mathrm{15\; 125}$■On part de $-495$ et on avance de $11$ sur la droite des nombres, en se rapprochant de zéro : $-495+11$ = $-484$

⇥ $-\mathrm{14\; 641}+\mathrm{15\; 125}-484$

⇥ⓘ On part de $\mathrm{-14\; 641}$ et on avance de $\mathrm{15\; 125}$ sur la droite des nombres, en dépassant zéro : $-\mathrm{14\; 641}+\mathrm{15\; 125}$ = $484$

⇥ $484-484$

⇥ⓘ On part de $484$ et on recule de $484$ sur la droite des nombres, jusqu'à zéro : $484-484$ = $0$

⇥ $0$

⇥Racine trouvée : $x=-11$

⇥1.2) Calculons le quotient et le reste de $(11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11)$ par $(x+11)$

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11$	$\frac{11x^3}{x}$	$11x^2$	$11x^2·(x+11)=11x^3+121x^2$	$(11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11)-(11x^3+121x^2)=4x^2+45x+11$
$4x^2+45x+11$	$\frac{4x^2}{x}$	$4x$	$4x·(x+11)=4x^2+44x$	$(4x^2+45x+11)-(4x^2+44x)=x+11$
$x+11$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x+11=x+11$	$(x+11)-(x+11)=0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est : $11x^2+4x+1$

ⅰ $11x^3$$+125x^2$$+45x$$+11$ = $(x+11)·(11x^2+4x+1)$

▶Expression factorisée :   $(x+11)·(11x^2+4x+1)$