factorise 142x^2-228x-112 — solution étape par étape

Mettons en facteurs dans

ℝ

142 x^{2} - 228 x - 112

On met en facteur

2

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

142 x^{2} - 228 x - 112

2 \cdot (71 x^{2} - 114 x - 56)

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 71

b = -114

c = -56

Δ = {(-114)}^{2} - 4 \cdot 71 \cdot (-56)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-114)}^{2}

(-114) \cdot (-114)

12 996

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 71

4 \cdot (70 + 1)

4 \cdot 70 + 4

280 + 4

284

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 284 \cdot (-56)

284 \cdot 56

Δ = 12 996 + 284 \cdot 56

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

284 \cdot 56

284 \cdot (50 + 6)

284 \cdot 50 + 284 \cdot 6

14 200 + 1704

15 904

Δ = 12 996 + 15 904

ⓘ On part de

12 996

et on avance de

15 904

sur la droite des nombres :

12 996 + 15 904

28 900

Δ = 28 900

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-114) - \sqrt{28 900}}{2 \cdot 71}

x_{1} = \frac{114 - \sqrt{28 900}}{2 \cdot 71}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{28 900}

170

;

170^{2}

28 900

ⅰ

2 \cdot 71

2 \cdot (70 + 1)

2 \cdot 70 + 2

140 + 2

142

x_{1} = \frac{114 - 170}{142}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

114 - 170

-56

x_{1} = - \frac{56}{142}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{56}{142}

- \frac{28 \cdot 2}{71 \cdot 2}

- \frac{28}{71}

x_{1} = - \frac{28}{71}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-114) + \sqrt{28 900}}{2 \cdot 71}

x_{2} = \frac{114 + \sqrt{28 900}}{2 \cdot 71}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{28 900}

170

;

170^{2}

28 900

ⅰ

2 \cdot 71

2 \cdot (70 + 1)

2 \cdot 70 + 2

140 + 2

142

x_{2} = \frac{114 + 170}{142}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

114 + 170

284

x_{2} = \frac{284}{142}

La fraction :

\frac{284}{142}

se simplifie par le facteur commun :

142

en une nouvelle expression :

2

x_{2} = 2

Un trinôme de racines

x_{1}

x_{2}

s'écrit

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

71 \cdot (x - 2) \cdot (x + \frac{28}{71})

(x - 2) \cdot (71 x + 28)

Facteurs identifiés :

(x - 2) \cdot (71 x + 28)

▶Expression factorisée :

2 \cdot (x - 2) \cdot (71 x + 28)