factorise 15x^2-13x+2 — solution étape par étape

Mettons en facteurs dans

ℝ

15 x^{2} - 13 x + 2

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 15

b = -13

c = 2

Δ = {(-13)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 2

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-13)}^{2}

(-13) \cdot (-13)

169

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 15

4 \cdot (10 + 5)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 5

40 + 20

60

Δ = 169 - 60 \cdot 2

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

60 \cdot 2

120

Δ = 169 - 120

ⓘ On part de

169

et on recule de

120

sur la droite des nombres :

169 - 120

49

Δ = 49

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-13) - \sqrt{49}}{2 \cdot 15}

x_{1} = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 15}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{1} = \frac{13 - 7}{30}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

13 - 7

6

x_{1} = \frac{6}{30}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{30}

\frac{1 \cdot 6}{5 \cdot 6}

\frac{1}{5}

x_{1} = \frac{1}{5}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-13) + \sqrt{49}}{2 \cdot 15}

x_{2} = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 15}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{2} = \frac{13 + 7}{30}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

13 + 7

20

x_{2} = \frac{20}{30}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

10

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{20}{30}

\frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10}

\frac{2}{3}

x_{2} = \frac{2}{3}

Un trinôme de racines

x_{1}

x_{2}

s'écrit

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

15 \cdot (x - \frac{1}{5}) \cdot (x - \frac{2}{3})

(3 x - 2) \cdot (5 x - 1)

▶Facteurs identifiés :

(3 x - 2) \cdot (5 x - 1)