factorise 15x^2-19x+6 — solution étape par étape

Factorisons dans

ℝ

15 x^{2} - 19 x + 6

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 15

b = -19

c = 6

Δ = {(-19)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 6

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-19)}^{2}

(-19) \cdot (-19)

361

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 15

4 \cdot (10 + 5)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 5

40 + 20

60

Δ = 361 - 60 \cdot 6

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

60 \cdot 6

360

Δ = 361 - 360

ⓘ On part de

361

et on recule de

360

sur la droite des nombres :

361 - 360

1

Δ = 1

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-19) - \sqrt{1}}{2 \cdot 15}

x_{1} = \frac{19 - 1}{2 \cdot 15}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

19 - 1

18

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{1} = \frac{18}{30}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{18}{30}

\frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6}

\frac{3}{5}

x_{1} = \frac{3}{5}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-19) + \sqrt{1}}{2 \cdot 15}

x_{2} = \frac{19 + 1}{2 \cdot 15}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

19 + 1

20

ⅰ

2 \cdot 15

2 \cdot (10 + 5)

2 \cdot 10 + 2 \cdot 5

20 + 10

30

x_{2} = \frac{20}{30}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

10

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{20}{30}

\frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10}

\frac{2}{3}

x_{2} = \frac{2}{3}

Un trinôme de racines

x_{1}

x_{2}

s'écrit

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

15 \cdot (x - \frac{2}{3}) \cdot (x - \frac{3}{5})

(3 x - 2) \cdot (5 x - 3)

▶Facteurs identifiés :

(3 x - 2) \cdot (5 x - 3)