factorise 16x^3-16x^2-25x+25 — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

16 x^{3}

- 16 x^{2}

- 25 x

+ 25

⇥1.1) Essayons d'abord la valeur évidente :

x = 1

⇥Évaluons la valeur de :

16 \cdot 1^{3}

- 16 \cdot 1^{2}

- 25 \cdot 1

+ 25

⇥

16

- 16

- 25

+ 25

⇥ⓘ On part de

16

et on recule de

16

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

16 - 16

0

⇥

0 - 25 + 25

⇥ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 - 25

-25

■On part de

-25

et on avance de

25

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 25 + 25

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = 1

⇥1.2) Calculons le quotient et le reste de

(16 x^{3}

- 16 x^{2}

- 25 x

+ 25)

par

(x - 1)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$16 x^{3}$ $- 16 x^{2}$ $- 25 x$ $+ 25$	$\frac{16 x^{3}}{x}$	$16 x^{2}$	$16 x^{2} \cdot (x - 1) = 16 x^{3} - 16 x^{2}$	$(16 x^{3}$ $- 16 x^{2}$ $- 25 x$ $+ 25) - (16 x^{3} - 16 x^{2}) = - 25 x + 25$
$- 25 x + 25$	$- \frac{25 x}{x}$	$-25$	$-25 \cdot (x - 1) = - 25 x + 25$	$(- 25 x + 25) - (- 25 x + 25) = 0$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

16 x^{2} - 25

⇥1.3) Factorisons dans

ℝ

(16 x^{2} - 25)

⇥Pour

16 x^{2} - 25

, on reconnaît une différence de deux carrés :

{(4 x)}^{2} - 5^{2}

. On applique

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, avec

a = 4 x

b = 5

⇥On peut factoriser l'expression :

16 x^{2} - 25

en :

(4 x - 5) \cdot (4 x + 5)

▷Le facteur

(16 x^{2} - 25)

se factorise en :

(4 x + 5) \cdot (4 x - 5)

▶Expression factorisée :

(x - 1) \cdot (4 x + 5) \cdot (4 x - 5)