factorise 20y^2+y-1 — solution étape par étape

Mettons en facteurs dans

ℝ

20 y^{2} + y - 1

Vu la forme quadratique

a y^{2} + b y + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 20

b = 1

c = -1

Δ = 1 - 4 \cdot 20 \cdot (-1)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 20

80

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

- 80 \cdot (-1)

80

Δ = 1 + 80

ⓘ On part de

1

et on avance de

80

sur la droite des nombres :

1 + 80

81

Δ = 81

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

y_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 20}

y_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 20}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{81}

9

;

9^{2}

81

ⅰ

2 \cdot 20

40

y_{1} = \frac{- 1 - 9}{40}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 - 9

-10

y_{1} = - \frac{10}{40}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

10

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{10}{40}

- \frac{1 \cdot 10}{4 \cdot 10}

- \frac{1}{4}

y_{1} = - \frac{1}{4}

La formule du second degré donne

y_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 20}

y_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 20}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{81}

9

;

9^{2}

81

ⅰ

2 \cdot 20

40

y_{2} = \frac{- 1 + 9}{40}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 + 9

8

y_{2} = \frac{8}{40}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

8

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{40}

\frac{1 \cdot 8}{5 \cdot 8}

\frac{1}{5}

y_{2} = \frac{1}{5}

Un trinôme de racines

y_{1}

y_{2}

s'écrit

a \cdot (y - y_{1}) \cdot (y - y_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

20 \cdot (y + \frac{1}{4}) \cdot (y - \frac{1}{5})

(4 y + 1) \cdot (5 y - 1)

▶Facteurs identifiés :

(4 y + 1) \cdot (5 y - 1)