factorise 24y^2-80y+56 — solution étape par étape

Factorisons dans

ℝ

24 y^{2} - 80 y + 56

On met en facteur

8

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

24 y^{2} - 80 y + 56

8 \cdot (3 y^{2} - 10 y + 7)

Vu la forme quadratique

a y^{2} + b y + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 3

b = -10

c = 7

Δ = {(-10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 7

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-10)}^{2}

(-10) \cdot (-10)

100

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 3

12

Δ = 100 - 12 \cdot 7

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

12 \cdot 7

(10 + 2) \cdot 7

10 \cdot 7 + 2 \cdot 7

70 + 14

84

Δ = 100 - 84

ⓘ On part de

100

et on recule de

84

sur la droite des nombres :

100 - 84

16

Δ = 16

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

y_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-10) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3}

y_{1} = \frac{10 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

ⅰ

2 \cdot 3

6

y_{1} = \frac{10 - 4}{6}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

10 - 4

6

y_{1} = \frac{6}{6}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{6}

1

y_{1} = 1

La formule du second degré donne

y_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-10) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3}

y_{2} = \frac{10 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

ⅰ

2 \cdot 3

6

y_{2} = \frac{10 + 4}{6}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

10 + 4

14

y_{2} = \frac{14}{6}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{14}{6}

\frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2}

\frac{7}{3}

y_{2} = \frac{7}{3}

Un trinôme de racines

y_{1}

y_{2}

s'écrit

a \cdot (y - y_{1}) \cdot (y - y_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

3 \cdot (y - 1) \cdot (y - \frac{7}{3})

(y - 1) \cdot (3 y - 7)

Facteurs identifiés :

(y - 1) \cdot (3 y - 7)

▶Expression factorisée :

8 \cdot (y - 1) \cdot (3 y - 7)