factorise 2x^3+x^2-32x-16 — solution étape par étape

1) Factorisons dans

ℝ

2 x^{3}

+ x^{2}

- 32 x

- 16

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = 4

⇥Calculons la valeur de :

2 \cdot 4^{3}

+ 4^{2}

- 32 \cdot 4

- 16

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

4^{3}

4 \cdot 4 \cdot 4

64

4^{2}

4 \cdot 4

16

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

32 \cdot 4

(30 + 2) \cdot 4

30 \cdot 4 + 2 \cdot 4

120 + 8

128

⇥

2 \cdot 64

+ 16

- 128

- 16

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 64

2 \cdot (60 + 4)

2 \cdot 60 + 2 \cdot 4

120 + 8

128

■On part de

16

et on recule de

128

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

16 - 128

-112

⇥

128 - 112 - 16

⇥ⓘ On part de

128

et on recule de

112

sur la droite des nombres :

128 - 112

16

⇥

16 - 16

⇥ⓘ On part de

16

et on recule de

16

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

16 - 16

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = 4

⇥1.2) Commençons la division euclidienne de

(2 x^{3}

+ x^{2}

- 32 x

- 16)

par

(x - 4)

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$2 x^{3}$ $+ x^{2}$ $- 32 x$ $- 16$	$\frac{2 x^{3}}{x}$	$2 x^{2}$	$2 x^{2} \cdot (x - 4) = 2 x^{3} - 8 x^{2}$	$(2 x^{3}$ $+ x^{2}$ $- 32 x$ $- 16) - (2 x^{3} - 8 x^{2}) = 9 x^{2} - 32 x - 16$
$9 x^{2} - 32 x - 16$	$\frac{9 x^{2}}{x}$	$9 x$	$9 x \cdot (x - 4) = 9 x^{2} - 36 x$	$(9 x^{2} - 32 x - 16) - (9 x^{2} - 36 x) = 4 x - 16$
$4 x - 16$	$\frac{4 x}{x}$	$4$	$4 \cdot (x - 4) = 4 x - 16$	$(4 x - 16) - (4 x - 16) = 0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

2 x^{2} + 9 x + 4

⇥1.3) Factorisons dans

ℝ

(2 x^{2} + 9 x + 4)

⇥Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 2

b = 9

c = 4

⇥

Δ = 9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

9^{2}

9 \cdot 9

81

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

2 \cdot 4

8

⇥

Δ = 81 - 8 \cdot 4

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 4

32

⇥

Δ = 81 - 32

⇥ⓘ On part de

81

et on recule de

32

sur la droite des nombres :

81 - 32

49

⇥

Δ = 49

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{1} = \frac{- 9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{1} = \frac{- 9 - 7}{4}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 9 - 7

-16

⇥

x_{1} = - \frac{16}{4}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{16}{4}

-4

⇥

x_{1} = -4

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2}

⇥

x_{2} = \frac{- 9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

⇥ⅰ

2 \cdot 2

4

⇥

x_{2} = \frac{- 9 + 7}{4}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 9 + 7

-2

⇥

x_{2} = - \frac{2}{4}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{4}

- \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2}

- \frac{1}{2}

⇥

x_{2} = - \frac{1}{2}

⇥Un trinôme de racines

x_{1}

x_{2}

s'écrit

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

2 \cdot (x + 4) \cdot (x + \frac{1}{2})

(x + 4) \cdot (2 x + 1)

▷Le facteur

(2 x^{2} + 9 x + 4)

se factorise en :

(x + 4) \cdot (2 x + 1)

▶Expression factorisée :

(x + 4) \cdot (x - 4) \cdot (2 x + 1)