factorise 32x^2-4x-15 — solution étape par étape

Factorisons dans

ℝ

32 x^{2} - 4 x - 15

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 32

b = -4

c = -15

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 32 \cdot (-15)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 32

4 \cdot (30 + 2)

4 \cdot 30 + 4 \cdot 2

120 + 8

128

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 128 \cdot (-15)

128 \cdot 15

Δ = 16 + 128 \cdot 15

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

128 \cdot 15

128 \cdot (10 + 5)

128 \cdot 10 + 128 \cdot 5

1280 + 640

1920

Δ = 16 + 1920

ⓘ On part de

16

et on avance de

1920

sur la droite des nombres :

16 + 1920

1936

Δ = 1936

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{1936}}{2 \cdot 32}

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{1936}}{2 \cdot 32}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{1936}

44

;

44^{2}

1936

ⅰ

2 \cdot 32

2 \cdot (30 + 2)

2 \cdot 30 + 2 \cdot 2

60 + 4

64

x_{1} = \frac{4 - 44}{64}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 - 44

-40

x_{1} = - \frac{40}{64}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

8

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{40}{64}

- \frac{5 \cdot 8}{8 \cdot 8}

- \frac{5}{8}

x_{1} = - \frac{5}{8}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{1936}}{2 \cdot 32}

x_{2} = \frac{4 + \sqrt{1936}}{2 \cdot 32}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{1936}

44

;

44^{2}

1936

ⅰ

2 \cdot 32

2 \cdot (30 + 2)

2 \cdot 30 + 2 \cdot 2

60 + 4

64

x_{2} = \frac{4 + 44}{64}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 + 44

48

x_{2} = \frac{48}{64}

La fraction :

\frac{48}{64}

se simplifie par le facteur commun :

16

en une nouvelle fraction :

\frac{3}{4}

x_{2} = \frac{3}{4}

Un trinôme de racines

x_{1}

x_{2}

s'écrit

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

32 \cdot (x + \frac{5}{8}) \cdot (x - \frac{3}{4})

(4 x - 3) \cdot (8 x + 5)

▶Facteurs trouvés :

(4 x - 3) \cdot (8 x + 5)