factorise 4k^3+12k^2+11k+3 — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

4 k^{3}

+ 12 k^{2}

+ 11 k

+ 3

⇥1.1) Essayons d'abord la valeur évidente :

k = -1

⇥Calculons la valeur de :

4 \cdot {(-1)}^{3}

+ 12 \cdot {(-1)}^{2}

+ 11 \cdot (-1)

+ 3

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

■Multiplier par -1 donne l'opposé :

4 \cdot (-1)

-4

■Multiplier par 1 ne change rien :

12 \cdot 1

12

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

11 \cdot (-1)

-11

⇥

- 4

+ 12

- 11

+ 3

⇥ⓘ On part de

-4

et on avance de

12

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 4 + 12

8

⇥

8 - 11 + 3

⇥ⓘ On part de

8

et on recule de

11

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

8 - 11

-3

⇥

- 3 + 3

⇥ⓘ On part de

-3

et on avance de

3

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 3 + 3

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

k = -1

⇥1.2) Calculons le quotient et le reste de

(4 k^{3}

+ 12 k^{2}

+ 11 k

+ 3)

par

(k + 1)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$4 k^{3}$ $+ 12 k^{2}$ $+ 11 k$ $+ 3$	$\frac{4 k^{3}}{k}$	$4 k^{2}$	$4 k^{2} \cdot (k + 1) = 4 k^{3} + 4 k^{2}$	$(4 k^{3}$ $+ 12 k^{2}$ $+ 11 k$ $+ 3) - (4 k^{3} + 4 k^{2}) = 8 k^{2} + 11 k + 3$
$8 k^{2} + 11 k + 3$	$\frac{8 k^{2}}{k}$	$8 k$	$8 k \cdot (k + 1) = 8 k^{2} + 8 k$	$(8 k^{2} + 11 k + 3) - (8 k^{2} + 8 k) = 3 k + 3$
$3 k + 3$	$\frac{3 k}{k}$	$3$	$3 \cdot (k + 1) = 3 k + 3$	$(3 k + 3) - (3 k + 3) = 0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

4 k^{2} + 8 k + 3

⇥1.3) Mettons en facteurs dans

ℝ

(4 k^{2} + 8 k + 3)

⇥Vu la forme quadratique

a k^{2} + b k + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 4

b = 8

c = 3

⇥

Δ = 8^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 3

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

8^{2}

8 \cdot 8

64

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 4

16

⇥

Δ = 64 - 16 \cdot 3

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

16 \cdot 3

(10 + 6) \cdot 3

10 \cdot 3 + 6 \cdot 3

30 + 18

48

⇥

Δ = 64 - 48

⇥ⓘ On part de

64

et on recule de

48

sur la droite des nombres :

64 - 48

16

⇥

Δ = 16

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

k_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

⇥

k_{1} = \frac{- 8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

⇥ⅰ

2 \cdot 4

8

⇥

k_{1} = \frac{- 8 - 4}{8}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 8 - 4

-12

⇥

k_{1} = - \frac{12}{8}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{12}{8}

- \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}

- \frac{3}{2}

⇥

k_{1} = - \frac{3}{2}

⇥La formule du second degré donne

k_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

⇥

k_{2} = \frac{- 8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

⇥ⅰ

2 \cdot 4

8

⇥

k_{2} = \frac{- 8 + 4}{8}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 8 + 4

-4

⇥

k_{2} = - \frac{4}{8}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{8}

- \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4}

- \frac{1}{2}

⇥

k_{2} = - \frac{1}{2}

⇥Un trinôme de racines

k_{1}

k_{2}

s'écrit

a \cdot (k - k_{1}) \cdot (k - k_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

4 \cdot (k + \frac{1}{2}) \cdot (k + \frac{3}{2})

(2 k + 1) \cdot (2 k + 3)

▷Le facteur

(4 k^{2} + 8 k + 3)

se factorise en :

(2 k + 1) \cdot (2 k + 3)

▶Expression factorisée :

(k + 1) \cdot (2 k + 1) \cdot (2 k + 3)