factorise 4p^2-4p-3 — solution étape par étape

Factorisons dans

ℝ

4 p^{2} - 4 p - 3

Vu la forme quadratique

a p^{2} + b p + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 4

b = -4

c = -3

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (-3)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 4

16

■Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 16 \cdot (-3)

16 \cdot 3

Δ = 16 + 16 \cdot 3

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

16 \cdot 3

(10 + 6) \cdot 3

10 \cdot 3 + 6 \cdot 3

30 + 18

48

Δ = 16 + 48

ⓘ On part de

16

et on avance de

48

sur la droite des nombres :

16 + 48

64

Δ = 64

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

p_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{64}}{2 \cdot 4}

p_{1} = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{64}

8

;

8^{2}

64

ⅰ

2 \cdot 4

8

p_{1} = \frac{4 - 8}{8}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 - 8

-4

p_{1} = - \frac{4}{8}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{8}

- \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4}

- \frac{1}{2}

p_{1} = - \frac{1}{2}

La formule du second degré donne

p_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) + \sqrt{64}}{2 \cdot 4}

p_{2} = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{64}

8

;

8^{2}

64

ⅰ

2 \cdot 4

8

p_{2} = \frac{4 + 8}{8}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

4 + 8

12

p_{2} = \frac{12}{8}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{12}{8}

\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}

\frac{3}{2}

p_{2} = \frac{3}{2}

Un trinôme de racines

p_{1}

p_{2}

s'écrit

a \cdot (p - p_{1}) \cdot (p - p_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

4 \cdot (p + \frac{1}{2}) \cdot (p - \frac{3}{2})

(2 p + 1) \cdot (2 p - 3)

▶Facteurs trouvés :

(2 p + 1) \cdot (2 p - 3)