factorise 56x^2+31x+3 — solution étape par étape

Mettons en facteurs dans

ℝ

56 x^{2} + 31 x + 3

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 56

b = 31

c = 3

Δ = 31^{2} - 4 \cdot 56 \cdot 3

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

31^{2}

31 \cdot 31

961

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 56

4 \cdot (50 + 6)

4 \cdot 50 + 4 \cdot 6

200 + 24

224

Δ = 961 - 224 \cdot 3

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

224 \cdot 3

(200 + 20 + 4) \cdot 3

200 \cdot 3 + 20 \cdot 3 + 4 \cdot 3

600 + 60 + 12

672

Δ = 961 - 672

ⓘ On part de

961

et on recule de

672

sur la droite des nombres :

961 - 672

289

Δ = 289

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 31 - \sqrt{289}}{2 \cdot 56}

x_{1} = \frac{- 31 - \sqrt{289}}{2 \cdot 56}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{289}

17

;

17^{2}

289

ⅰ

2 \cdot 56

2 \cdot (50 + 6)

2 \cdot 50 + 2 \cdot 6

100 + 12

112

x_{1} = \frac{- 31 - 17}{112}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 31 - 17

-48

x_{1} = - \frac{48}{112}

On simplifie la fraction :

\frac{48}{112}

par le facteur commun :

16

pour obtenir la nouvelle fraction :

\frac{3}{7}

x_{1} = - \frac{3}{7}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 31 + \sqrt{289}}{2 \cdot 56}

x_{2} = \frac{- 31 + \sqrt{289}}{2 \cdot 56}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{289}

17

;

17^{2}

289

ⅰ

2 \cdot 56

2 \cdot (50 + 6)

2 \cdot 50 + 2 \cdot 6

100 + 12

112

x_{2} = \frac{- 31 + 17}{112}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 31 + 17

-14

x_{2} = - \frac{14}{112}

On simplifie la fraction :

\frac{14}{112}

par le facteur commun :

14

pour obtenir la nouvelle fraction :

\frac{1}{8}

x_{2} = - \frac{1}{8}

Un trinôme de racines

x_{1}

x_{2}

s'écrit

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

56 \cdot (x + \frac{1}{8}) \cdot (x + \frac{3}{7})

(7 x + 3) \cdot (8 x + 1)

▶Facteurs identifiés :

(7 x + 3) \cdot (8 x + 1)