factorise 5k^2-18k+9 — solution étape par étape

Factorisons dans

ℝ

5 k^{2} - 18 k + 9

Étant donné la forme quadratique

a k^{2} + b k + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 5

b = -18

c = 9

Δ = {(-18)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 9

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-18)}^{2}

(-18) \cdot (-18)

324

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 5

20

Δ = 324 - 20 \cdot 9

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

20 \cdot 9

180

Δ = 324 - 180

ⓘ On part de

324

et on recule de

180

sur la droite des nombres :

324 - 180

144

Δ = 144

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

k_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-18) - \sqrt{144}}{2 \cdot 5}

k_{1} = \frac{18 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{144}

12

;

12^{2}

144

ⅰ

2 \cdot 5

10

k_{1} = \frac{18 - 12}{10}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

18 - 12

6

k_{1} = \frac{6}{10}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{6}{10}

\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2}

\frac{3}{5}

k_{1} = \frac{3}{5}

La formule du second degré donne

k_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-18) + \sqrt{144}}{2 \cdot 5}

k_{2} = \frac{18 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{144}

12

;

12^{2}

144

ⅰ

2 \cdot 5

10

k_{2} = \frac{18 + 12}{10}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

18 + 12

30

k_{2} = \frac{30}{10}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

10

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{30}{10}

3

k_{2} = 3

Un trinôme de racines

k_{1}

k_{2}

s'écrit

a \cdot (k - k_{1}) \cdot (k - k_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

5 \cdot (k - 3) \cdot (k - \frac{3}{5})

(k - 3) \cdot (5 k - 3)

▶Facteurs trouvés :

(k - 3) \cdot (5 k - 3)