factorise 5x^3+30x^2-10x — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

5 x^{3} + 30 x^{2} - 10 x

On peut factoriser l'expression en :

x \cdot (5 x^{2} + 30 x - 10)

Factorisons dans

ℝ

(5 x^{2} + 30 x - 10)

On met en facteur

5

, le plus grand diviseur commun des coefficients :

5 x^{2} + 30 x - 10

5 \cdot (x^{2} + 6 x - 2)

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = 6

c = -2

Δ = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

6^{2}

6 \cdot 6

36

Δ = 36 - 4 \cdot (-2)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 36 + 8

ⓘ On part de

36

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

36 + 8

44

Δ = 44

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 - \sqrt{44}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 6 - \sqrt{44}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

44

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{44}

\sqrt{4 \cdot 11}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{11}

2 \cdot \sqrt{11}

■On met le signe moins en facteur, en changeant le signe de chaque terme :

- 6 - 2 \cdot \sqrt{11}

- (6 + 2 \cdot \sqrt{11})

x_{1} = - \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{11}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

- \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{11}}{2}

- \frac{2 \cdot (3 + \sqrt{11})}{2}

- (3 + \sqrt{11})

x_{1} = - (3 + \sqrt{11})

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (3 + \sqrt{11})

- 3 - \sqrt{11}

x_{1} = - 3 - \sqrt{11}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 + \sqrt{44}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 6 + \sqrt{44}}{2}

ⓘ On cherche le plus grand carré qui divise

44

4

2^{2}

, et on le sort de la racine :

\sqrt{44}

\sqrt{4 \cdot 11}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{11}

2 \cdot \sqrt{11}

x_{2} = \frac{- 6 + 2 \cdot \sqrt{11}}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{- 6 + 2 \cdot \sqrt{11}}{2}

\frac{2 \cdot (- 3 + \sqrt{11})}{2}

- 3 + \sqrt{11}

x_{2} = - 3 + \sqrt{11}

Facteurs trouvés :

(x - (\sqrt{11} - 3)) \cdot (x - (- \sqrt{11} - 3))

▷Le facteur

(5 x^{2} + 30 x - 10)

se factorise en :

5 \cdot (x - (\sqrt{11} - 3)) \cdot (x - (- \sqrt{11} - 3))

2) Remplaçons chaque facteur par sa factorisation :

x \cdot 5 \cdot (x - (\sqrt{11} - 3)) \cdot (x - (- \sqrt{11} - 3))

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (\sqrt{11} - 3)

- \sqrt{11} + 3

- (- \sqrt{11} - 3)

\sqrt{11} + 3

x \cdot 5 \cdot (x - \sqrt{11} + 3) \cdot (x + \sqrt{11} + 3)

ⓘ On met en facteur le facteur commun

x

▶Expression factorisée :

5 x \cdot (x + \sqrt{11} + 3) \cdot (x - \sqrt{11} + 3)