factorise 7x^4+51x^2+14 — solution étape par étape

Factorisons dans

ℝ

7 x^{4} + 51 x^{2} + 14

Posons :

X = x^{2}

On peut transformer l'expression en :

7 X^{2} + 51 X + 14

Étant donné la forme quadratique

a X^{2} + b X + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 7

b = 51

c = 14

Δ = 51^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 14

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

51^{2}

51 \cdot 51

2601

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 7

28

Δ = 2601 - 28 \cdot 14

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

28 \cdot 14

28 \cdot (10 + 4)

28 \cdot 10 + 28 \cdot 4

280 + 112

392

Δ = 2601 - 392

ⓘ On part de

2601

et on recule de

392

sur la droite des nombres :

2601 - 392

2209

Δ = 2209

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

X_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 51 - \sqrt{2209}}{2 \cdot 7}

X_{1} = \frac{- 51 - \sqrt{2209}}{2 \cdot 7}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{2209}

47

;

47^{2}

2209

ⅰ

2 \cdot 7

14

X_{1} = \frac{- 51 - 47}{14}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 51 - 47

-98

X_{1} = - \frac{98}{14}

La fraction :

\frac{98}{14}

se simplifie par le facteur commun :

14

en une nouvelle expression :

7

X_{1} = -7

La formule du second degré donne

X_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 51 + \sqrt{2209}}{2 \cdot 7}

X_{2} = \frac{- 51 + \sqrt{2209}}{2 \cdot 7}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{2209}

47

;

47^{2}

2209

ⅰ

2 \cdot 7

14

X_{2} = \frac{- 51 + 47}{14}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 51 + 47

-4

X_{2} = - \frac{4}{14}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{14}

- \frac{2 \cdot 2}{7 \cdot 2}

- \frac{2}{7}

X_{2} = - \frac{2}{7}

Un trinôme de racines

X_{1}

X_{2}

s'écrit

a \cdot (X - X_{1}) \cdot (X - X_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

7 \cdot (X + 7) \cdot (X + \frac{2}{7})

(X + 7) \cdot (7 X + 2)

Facteurs trouvés :

(X + 7) \cdot (7 X + 2)

ⓘ Un carré n'étant jamais négatif,

x^{2} + 7

ne s'annule pas et ne se factorise pas dans ℝ

▶Expression factorisée :

(x^{2} + 7) \cdot (7 x^{2} + 2)