factorise 8x^3-62x^2+43x-7 — solution étape par étape

1) Factorisons dans

ℝ

8 x^{3}

- 62 x^{2}

+ 43 x

- 7

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = 7

⇥Évaluons la valeur de :

8 \cdot 7^{3}

- 62 \cdot 7^{2}

+ 43 \cdot 7

- 7

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

7^{3}

7 \cdot 7 \cdot 7

343

7^{2}

7 \cdot 7

49

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

43 \cdot 7

(40 + 3) \cdot 7

40 \cdot 7 + 3 \cdot 7

280 + 21

301

⇥

8 \cdot 343

- 62 \cdot 49

+ 301

- 7

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

8 \cdot 343

8 \cdot (300 + 40 + 3)

8 \cdot 300 + 8 \cdot 40 + 8 \cdot 3

2400 + 320 + 24

2744

62 \cdot 49

62 \cdot (40 + 9)

62 \cdot 40 + 62 \cdot 9

2480 + 558

3038

■On part de

301

et on recule de

7

sur la droite des nombres :

301 - 7

294

⇥

2744 - 3038 + 294

⇥ⓘ On part de

2744

et on recule de

3038

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

2744 - 3038

-294

⇥

- 294 + 294

⇥ⓘ On part de

-294

et on avance de

294

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 294 + 294

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = 7

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne :

(8 x^{3}

- 62 x^{2}

+ 43 x

- 7)

(x - 7)

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$8 x^{3}$ $- 62 x^{2}$ $+ 43 x$ $- 7$	$\frac{8 x^{3}}{x}$	$8 x^{2}$	$8 x^{2} \cdot (x - 7) = 8 x^{3} - 56 x^{2}$	$(8 x^{3}$ $- 62 x^{2}$ $+ 43 x$ $- 7) - (8 x^{3} - 56 x^{2}) = - 6 x^{2} + 43 x - 7$
$- 6 x^{2} + 43 x - 7$	$- \frac{6 x^{2}}{x}$	$- 6 x$	$- 6 x \cdot (x - 7) = - 6 x^{2} + 42 x$	$(- 6 x^{2} + 43 x - 7) - (- 6 x^{2} + 42 x) = x - 7$
$x - 7$	$\frac{x}{x}$	$1$	$x - 7 = x - 7$	$(x - 7) - (x - 7) = 0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

8 x^{2} - 6 x + 1

⇥1.3) Mettons en facteurs dans

ℝ

(8 x^{2} - 6 x + 1)

⇥Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 8

b = -6

c = 1

⇥

Δ = {(-6)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 1

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-6)}^{2}

(-6) \cdot (-6)

36

⇥

Δ = 36 - 4 \cdot 8

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 8

32

⇥

Δ = 36 - 32

⇥ⓘ On part de

36

et on recule de

32

sur la droite des nombres :

36 - 32

4

⇥

Δ = 4

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

⇥

x_{1} = \frac{6 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

⇥ⅰ

2 \cdot 8

16

⇥

x_{1} = \frac{6 - 2}{16}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

6 - 2

4

⇥

x_{1} = \frac{4}{16}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{16}

\frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4}

\frac{1}{4}

⇥

x_{1} = \frac{1}{4}

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

⇥

x_{2} = \frac{6 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

⇥ⅰ

2 \cdot 8

16

⇥

x_{2} = \frac{6 + 2}{16}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

6 + 2

8

⇥

x_{2} = \frac{8}{16}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

8

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{16}

\frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 8}

\frac{1}{2}

⇥

x_{2} = \frac{1}{2}

⇥Un trinôme de racines

x_{1}

x_{2}

s'écrit

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

8 \cdot (x - \frac{1}{2}) \cdot (x - \frac{1}{4})

(2 x - 1) \cdot (4 x - 1)

▷Le facteur

(8 x^{2} - 6 x + 1)

se factorise en :

(2 x - 1) \cdot (4 x - 1)

▶Expression factorisée :

(x - 7) \cdot (2 x - 1) \cdot (4 x - 1)