factorise -λ^3+3λ+2 — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

- λ^{3} + 3 λ + 2

⇥1.1) Essayons d'abord la valeur évidente :

λ = -1

⇥Calculons la valeur de :

- {(-1)}^{3} + 3 \cdot (-1) + 2

⇥ⓘ Une puissance entière est un produit répété :

- {(-1)}^{3}

- ((-1) \cdot (-1) \cdot (-1))

- (-1)

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

3 \cdot (-1)

-3

⇥

- (-1) - 3 + 2

⇥ⓘ Soustraire un nombre négatif revient à l'ajouter, deux signes moins font un plus :

- (-1)

1

■On part de

-3

et on avance de

2

sur la droite des nombres, en se rapprochant de zéro :

- 3 + 2

-1

⇥

1 - 1

⇥ⓘ On part de

1

et on recule de

1

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

1 - 1

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

λ = -1

⇥1.2) Calculons le quotient et le reste de

(- λ^{3} + 3 λ + 2)

par

(λ + 1)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$- λ^{3} + 3 λ + 2$	$- \frac{λ^{3}}{λ}$	$- λ^{2}$	$- λ^{2} \cdot (λ + 1) = - λ^{3} - λ^{2}$	$(- λ^{3} + 3 λ + 2) - (- λ^{3} - λ^{2}) = λ^{2} + 3 λ + 2$
$λ^{2} + 3 λ + 2$	$\frac{λ^{2}}{λ}$	$λ$	$λ \cdot (λ + 1) = λ^{2} + λ$	$(λ^{2} + 3 λ + 2) - (λ^{2} + λ) = 2 λ + 2$
$2 λ + 2$	$\frac{2 λ}{λ}$	$2$	$2 \cdot (λ + 1) = 2 λ + 2$	$(2 λ + 2) - (2 λ + 2) = 0$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

- λ^{2} + λ + 2

⇥1.3) Mettons en facteurs dans

ℝ

(- λ^{2} + λ + 2)

⇥Vu la forme quadratique

a λ^{2} + b λ + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = -1

b = 1

c = 2

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-1) \cdot 2

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-4 \cdot (-1)

4

⇥

Δ = 1 + 4 \cdot 2

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

⇥

Δ = 1 + 8

⇥ⓘ On part de

1

et on avance de

8

sur la droite des nombres :

1 + 8

9

⇥

Δ = 9

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

λ_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)}

⇥

λ_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-1)

-2

⇥

λ_{1} = \frac{- 1 - 3}{-2}

⇥ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{- 1 - 3}{-2}

- (\frac{- 1 - 3}{2})

⇥

λ_{1} = - (\frac{- 1 - 3}{2})

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 - 3

-4

⇥

λ_{1} = - (\frac{-4}{2})

⇥ⓘ Deux signes moins s'annulent :

- (\frac{-4}{2})

\frac{4}{2}

⇥

λ_{1} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

⇥

λ_{1} = 2

⇥La formule du second degré donne

λ_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)}

⇥

λ_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{9}

3

;

3^{2}

9

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-1)

-2

⇥

λ_{2} = \frac{- 1 + 3}{-2}

⇥ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{- 1 + 3}{-2}

- (\frac{- 1 + 3}{2})

⇥

λ_{2} = - (\frac{- 1 + 3}{2})

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 1 + 3

2

⇥

λ_{2} = - \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{2}{2}

-1

⇥

λ_{2} = -1

▷Le facteur

(- λ^{2} + λ + 2)

se factorise en :

- (λ + 1) \cdot (λ - 2)

2) Remplaçons chaque facteur par sa factorisation :

(λ + 1) \cdot (- (λ + 1) \cdot (λ - 2))

ⓘ On place le signe moins devant le produit :

(λ + 1) \cdot (- (λ + 1)) \cdot (λ - 2)

- (λ + 1) \cdot (λ + 1) \cdot (λ - 2)

ⅰ

- λ^{2} + λ + 2

- (λ + 1) \cdot (λ - 2)

- (λ + 1) \cdot (λ + 1) \cdot (λ - 2)

▶Expression factorisée :

- {(λ + 1)}^{2} \cdot (λ - 2)