factorise -3x^2+2x+8 — solution étape par étape

Factorisons dans

ℝ

- 3 x^{2} + 2 x + 8

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = -3

b = 2

c = 8

Δ = 2^{2} - 4 \cdot (-3) \cdot 8

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-4 \cdot (-3)

12

Δ = 4 + 12 \cdot 8

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

12 \cdot 8

(10 + 2) \cdot 8

10 \cdot 8 + 2 \cdot 8

80 + 16

96

Δ = 4 + 96

ⓘ On part de

4

et on avance de

96

sur la droite des nombres :

4 + 96

100

Δ = 100

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2 \cdot (-3)}

x_{1} = \frac{- 2 - \sqrt{100}}{2 \cdot (-3)}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{100}

10

;

10^{2}

100

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-3)

-6

x_{1} = \frac{- 2 - 10}{-6}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{- 2 - 10}{-6}

- (\frac{- 2 - 10}{6})

x_{1} = - (\frac{- 2 - 10}{6})

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 2 - 10

-12

x_{1} = - (\frac{-12}{6})

ⓘ Deux signes moins s'annulent :

- (\frac{-12}{6})

\frac{12}{6}

x_{1} = \frac{12}{6}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{12}{6}

2

x_{1} = 2

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2 \cdot (-3)}

x_{2} = \frac{- 2 + \sqrt{100}}{2 \cdot (-3)}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{100}

10

;

10^{2}

100

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-3)

-6

x_{2} = \frac{- 2 + 10}{-6}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{- 2 + 10}{-6}

- (\frac{- 2 + 10}{6})

x_{2} = - (\frac{- 2 + 10}{6})

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 2 + 10

8

x_{2} = - \frac{8}{6}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{8}{6}

- \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}

- \frac{4}{3}

x_{2} = - \frac{4}{3}

Un trinôme de racines

x_{1}

x_{2}

s'écrit

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

-3 \cdot (x - 2) \cdot (x + \frac{4}{3})

- (x - 2) \cdot (3 x + 4)

▶Facteurs identifiés :

- (x - 2) \cdot (3 x + 4)