factorise -6x^2-13x-6 — solution étape par étape

Mettons en facteurs dans

ℝ

- 6 x^{2} - 13 x - 6

Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = -6

b = -13

c = -6

Δ = {(-13)}^{2} - 4 \cdot (-6) \cdot (-6)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-13)}^{2}

(-13) \cdot (-13)

169

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-4 \cdot (-6)

24

■On place le signe moins devant le produit :

24 \cdot (-6)

- 24 \cdot 6

Δ = 169 - 24 \cdot 6

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

24 \cdot 6

(20 + 4) \cdot 6

20 \cdot 6 + 4 \cdot 6

120 + 24

144

Δ = 169 - 144

ⓘ On part de

169

et on recule de

144

sur la droite des nombres :

169 - 144

25

Δ = 25

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot (-6)}

x_{1} = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 \cdot (-6)}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-6)

-12

x_{1} = \frac{13 - 5}{-12}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{13 - 5}{-12}

- \frac{13 - 5}{12}

x_{1} = - \frac{13 - 5}{12}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

13 - 5

8

x_{1} = - \frac{8}{12}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{8}{12}

- \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}

- \frac{2}{3}

x_{1} = - \frac{2}{3}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot (-6)}

x_{2} = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 \cdot (-6)}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{25}

5

;

5^{2}

25

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-6)

-12

x_{2} = \frac{13 + 5}{-12}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{13 + 5}{-12}

- \frac{13 + 5}{12}

x_{2} = - \frac{13 + 5}{12}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

13 + 5

18

x_{2} = - \frac{18}{12}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

6

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{18}{12}

- \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 6}

- \frac{3}{2}

x_{2} = - \frac{3}{2}

Un trinôme de racines

x_{1}

x_{2}

s'écrit

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

-6 \cdot (x + \frac{2}{3}) \cdot (x + \frac{3}{2})

- (2 x + 3) \cdot (3 x + 2)

▶Facteurs trouvés :

- (2 x + 3) \cdot (3 x + 2)