factorise -91x^2+108x-32 — solution étape par étape

Mettons en facteurs dans

ℝ

- 91 x^{2} + 108 x - 32

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = -91

b = 108

c = -32

Δ = 108^{2} - 4 \cdot (-91) \cdot (-32)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

108^{2}

108 \cdot 108

11 664

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-4 \cdot (-91)

4 \cdot 91

4 \cdot (90 + 1)

4 \cdot 90 + 4

360 + 4

364

■On place le signe moins devant le produit :

364 \cdot (-32)

- 364 \cdot 32

Δ = 11 664 - 364 \cdot 32

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

364 \cdot 32

364 \cdot (30 + 2)

364 \cdot 30 + 364 \cdot 2

10 920 + 728

11 648

Δ = 11 664 - 11 648

ⓘ On part de

11 664

et on recule de

11 648

sur la droite des nombres :

11 664 - 11 648

16

Δ = 16

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 108 - \sqrt{16}}{2 \cdot (-91)}

x_{1} = \frac{- 108 - \sqrt{16}}{2 \cdot (-91)}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-91)

- 2 \cdot 91

- 2 \cdot (90 + 1)

- (2 \cdot 90 + 2)

- (180 + 2)

-182

x_{1} = \frac{- 108 - 4}{-182}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{- 108 - 4}{-182}

- (\frac{- 108 - 4}{182})

x_{1} = - (\frac{- 108 - 4}{182})

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 108 - 4

-112

x_{1} = - (\frac{-112}{182})

ⓘ Deux signes moins s'annulent :

- (\frac{-112}{182})

\frac{112}{182}

x_{1} = \frac{112}{182}

La fraction :

\frac{112}{182}

se simplifie par le facteur commun :

14

en une nouvelle fraction :

\frac{8}{13}

x_{1} = \frac{8}{13}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 108 + \sqrt{16}}{2 \cdot (-91)}

x_{2} = \frac{- 108 + \sqrt{16}}{2 \cdot (-91)}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{16}

4

;

4^{2}

16

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-91)

- 2 \cdot 91

- 2 \cdot (90 + 1)

- (2 \cdot 90 + 2)

- (180 + 2)

-182

x_{2} = \frac{- 108 + 4}{-182}

ⓘ Le signe d'une fraction se place devant la barre, qu'il vienne du numérateur ou du dénominateur :

\frac{- 108 + 4}{-182}

- (\frac{- 108 + 4}{182})

x_{2} = - (\frac{- 108 + 4}{182})

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 108 + 4

-104

x_{2} = - (\frac{-104}{182})

ⓘ Deux signes moins s'annulent :

- (\frac{-104}{182})

\frac{104}{182}

x_{2} = \frac{104}{182}

On simplifie la fraction :

\frac{104}{182}

par le facteur commun :

26

pour obtenir la nouvelle fraction :

\frac{4}{7}

x_{2} = \frac{4}{7}

Un trinôme de racines

x_{1}

x_{2}

s'écrit

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

-91 \cdot (x - \frac{4}{7}) \cdot (x - \frac{8}{13})

- (7 x - 4) \cdot (13 x - 8)

▶Facteurs identifiés :

- (7 x - 4) \cdot (13 x - 8)