factorise -a^3+4a^2-5a+2 — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

- a^{3}

+ 4 a^{2}

- 5 a

+ 2

⇥1.1) Essayons d'abord la valeur évidente :

a = 1

⇥Calculons la valeur de :

- 1^{3}

+ 4 \cdot 1^{2}

- 5 \cdot 1

+ 2

⇥

- 1

+ 4

- 5

+ 2

⇥ⓘ On part de

-1

et on avance de

4

sur la droite des nombres, en dépassant zéro :

- 1 + 4

3

⇥

3 - 5 + 2

⇥ⓘ On part de

3

et on recule de

5

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

3 - 5

-2

⇥

- 2 + 2

⇥ⓘ On part de

-2

et on avance de

2

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 2 + 2

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

a = 1

⇥1.2) Calculons le quotient et le reste de

(- a^{3}

+ 4 a^{2}

- 5 a

+ 2)

par

(a - 1)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$- a^{3}$ $+ 4 a^{2}$ $- 5 a$ $+ 2$	$- \frac{a^{3}}{a}$	$- a^{2}$	$- a^{2} \cdot (a - 1) = - a^{3} + a^{2}$	$(- a^{3}$ $+ 4 a^{2}$ $- 5 a$ $+ 2) - (- a^{3} + a^{2}) = 3 a^{2} - 5 a + 2$
$3 a^{2} - 5 a + 2$	$\frac{3 a^{2}}{a}$	$3 a$	$3 a \cdot (a - 1) = 3 a^{2} - 3 a$	$(3 a^{2} - 5 a + 2) - (3 a^{2} - 3 a) = - 2 a + 2$
$- 2 a + 2$	$- \frac{2 a}{a}$	$-2$	$-2 \cdot (a - 1) = - 2 a + 2$	$(- 2 a + 2) - (- 2 a + 2) = 0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

- a^{2} + 3 a - 2

⇥1.3) Factorisons dans

ℝ

(- a^{2} + 3 a - 2)

⇥Étant donné la forme quadratique

A a^{2} + B a + C

, calculons le discriminant :

Δ = B^{2} - 4 A C

. Ici

A = -1

B = 3

C = -2

⇥

Δ = 3^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot (-2)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{2}

3 \cdot 3

9

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

-4 \cdot (-1)

4

■On place le signe moins devant le produit :

4 \cdot (-2)

- 4 \cdot 2

⇥

Δ = 9 - 4 \cdot 2

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 2

8

⇥

Δ = 9 - 8

⇥ⓘ On part de

9

et on recule de

8

sur la droite des nombres :

9 - 8

1

⇥

Δ = 1

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

a_{1}

\frac{- B - \sqrt{Δ}}{2 A}

\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2 \cdot (-1)}

⇥

a_{1} = \frac{- 3 - 1}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 3 - 1

-4

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-1)

-2

⇥

a_{1} = \frac{-4}{-2}

⇥ⓘ Les signes moins du numérateur et du dénominateur s'annulent :

\frac{-4}{-2}

\frac{4}{2}

⇥

a_{1} = \frac{4}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{4}{2}

2

⇥

a_{1} = 2

⇥La formule du second degré donne

a_{2}

\frac{- B + \sqrt{Δ}}{2 A}

\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2 \cdot (-1)}

⇥

a_{2} = \frac{- 3 + 1}{2 \cdot (-1)}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 3 + 1

-2

■Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif :

2 \cdot (-1)

-2

⇥

a_{2} = \frac{-2}{-2}

⇥ⓘ Les signes moins du numérateur et du dénominateur s'annulent :

\frac{-2}{-2}

\frac{2}{2}

⇥

a_{2} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{2}{2}

1

⇥

a_{2} = 1

▷Le facteur

(- a^{2} + 3 a - 2)

se factorise en :

- (a - 1) \cdot (a - 2)

2) Remplaçons chaque facteur par sa factorisation :

(a - 1) \cdot (- (a - 1) \cdot (a - 2))

ⓘ On place le signe moins devant le produit :

(a - 1) \cdot (- (a - 1)) \cdot (a - 2)

- (a - 1) \cdot (a - 1) \cdot (a - 2)

ⅰ

- a^{2} + 3 a - 2

- (a - 1) \cdot (a - 2)

- (a - 1) \cdot (a - 1) \cdot (a - 2)

▶Expression factorisée :

- {(a - 1)}^{2} \cdot (a - 2)