factorise (8x^2+22x+15)/(4x+5) — solution étape par étape

1) Factorisons dans

ℝ

\frac{8 x^{2} + 22 x + 15}{4 x + 5}

On factorise le numérateur et le dénominateur en cherchant leurs racines ; celles du dénominateur seront des valeurs interdites

2) Factorisons le numérateur :

8 x^{2} + 22 x + 15

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 8

b = 22

c = 15

Δ = 22^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 15

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

22^{2}

22 \cdot 22

484

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

4 \cdot 8

32

Δ = 484 - 32 \cdot 15

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

32 \cdot 15

32 \cdot (10 + 5)

32 \cdot 10 + 32 \cdot 5

320 + 160

480

Δ = 484 - 480

ⓘ On part de

484

et on recule de

480

sur la droite des nombres :

484 - 480

4

Δ = 4

Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 22 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

x_{1} = \frac{- 22 - \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

ⅰ

2 \cdot 8

16

x_{1} = \frac{- 22 - 2}{16}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 22 - 2

-24

x_{1} = - \frac{24}{16}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

8

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{24}{16}

- \frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 8}

- \frac{3}{2}

x_{1} = - \frac{3}{2}

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 22 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

x_{2} = \frac{- 22 + \sqrt{4}}{2 \cdot 8}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{4}

2

;

2^{2}

4

ⅰ

2 \cdot 8

16

x_{2} = \frac{- 22 + 2}{16}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

- 22 + 2

-20

x_{2} = - \frac{20}{16}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

4

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{20}{16}

- \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4}

- \frac{5}{4}

x_{2} = - \frac{5}{4}

Un trinôme de racines

x_{1}

x_{2}

s'écrit

a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})

; en faisant entrer le coefficient dans les parenthèses :

8 \cdot (x + \frac{3}{2}) \cdot (x + \frac{5}{4})

(2 x + 3) \cdot (4 x + 5)

▷Le numérateur

8 x^{2} + 22 x + 15

se factorise en :

(2 x + 3) \cdot (4 x + 5)

Les racines du dénominateur sont les valeurs interdites :

x \neq - \frac{5}{4}

3) Remplaçons le numérateur et le dénominateur par leurs factorisations :

\frac{(2 x + 3) \cdot (4 x + 5)}{4 x + 5}

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

4 x + 5

\frac{(2 x + 3) \cdot (4 x + 5)}{4 x + 5}

2 x + 3

▶Facteur identifié :

2 x + 3