factorise (x+2)/(x^2-3x-10) — solution étape par étape

1) Factorisons dans

ℝ

\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}

On factorise le numérateur et le dénominateur en cherchant leurs racines ; celles du dénominateur seront des valeurs interdites

2) Factorisons le dénominateur :

x^{2} - 3 x - 10

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -3

c = -10

Δ = {(-3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-10)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-3)}^{2}

(-3) \cdot (-3)

9

Δ = 9 - 4 \cdot (-10)

ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-10)

40

Δ = 9 + 40

ⓘ On part de

9

et on avance de

40

sur la droite des nombres :

9 + 40

49

Δ = 49

Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

x_{1} = \frac{3 - 7}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

3 - 7

-4

x_{1} = - \frac{4}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{4}{2}

-2

x_{1} = -2

La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2}

ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

x_{2} = \frac{3 + 7}{2}

ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

3 + 7

10

x_{2} = \frac{10}{2}

ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{10}{2}

5

x_{2} = 5

▷Le dénominateur

x^{2} - 3 x - 10

se factorise en :

(x + 2) \cdot (x - 5)

Les racines du dénominateur sont les valeurs interdites :

x \in ℝ \ {-2; 5}

3) Remplaçons le numérateur et le dénominateur par leurs factorisations :

\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x - 5)}

ⓘ Le dénominateur initial doit rester non nul. On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur facteur commun

x + 2

\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x - 5)}

\frac{1}{x - 5}

▶Facteurs identifiés :

\frac{1}{x - 5}