factorise r^3-25r^2-9r+225 — solution étape par étape

1) Factorisons dans

ℝ

r^{3}

- 25 r^{2}

- 9 r

+ 225

⇥1.1) Essayons d'abord la valeur évidente :

r = 3

⇥Évaluons la valeur de :

3^{3}

- 25 \cdot 3^{2}

- 9 \cdot 3

+ 225

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

3^{2}

3 \cdot 3

9

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

9 \cdot 3

27

⇥

27

- 25 \cdot 9

- 27

+ 225

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

25 \cdot 9

(20 + 5) \cdot 9

20 \cdot 9 + 5 \cdot 9

180 + 45

225

⇥

27

- 225

- 27

+ 225

⇥ⓘ On part de

27

et on recule de

225

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

27 - 225

-198

⇥

- 198 - 27 + 225

⇥ⓘ On part de

-198

et on recule encore de

27

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 198 - 27

-225

⇥

- 225 + 225

⇥ⓘ On part de

-225

et on avance de

225

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 225 + 225

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

r = 3

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne :

(r^{3}

- 25 r^{2}

- 9 r

+ 225)

(r - 3)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$r^{3}$ $- 25 r^{2}$ $- 9 r$ $+ 225$	$\frac{r^{3}}{r}$	$r^{2}$	$r^{2} \cdot (r - 3) = r^{3} - 3 r^{2}$	$(r^{3}$ $- 25 r^{2}$ $- 9 r$ $+ 225) - (r^{3} - 3 r^{2}) = - 22 r^{2} - 9 r + 225$
$- 22 r^{2} - 9 r + 225$	$- \frac{22 r^{2}}{r}$	$- 22 r$	$- 22 r \cdot (r - 3) = - 22 r^{2} + 66 r$	$(- 22 r^{2} - 9 r + 225) - (- 22 r^{2} + 66 r) = - 75 r + 225$
$- 75 r + 225$	$- \frac{75 r}{r}$	$-75$	$-75 \cdot (r - 3) = - 75 r + 225$	$(- 75 r + 225) - (- 75 r + 225) = 0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est :

r^{2} - 22 r - 75

⇥1.3) Mettons en facteurs dans

ℝ

(r^{2} - 22 r - 75)

⇥Étant donné la forme quadratique

a r^{2} + b r + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -22

c = -75

⇥

Δ = {(-22)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-75)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-22)}^{2}

(-22) \cdot (-22)

484

⇥

Δ = 484 - 4 \cdot (-75)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-75)

4 \cdot 75

4 \cdot (70 + 5)

4 \cdot 70 + 4 \cdot 5

280 + 20

300

⇥

Δ = 484 + 300

⇥ⓘ On part de

484

et on avance de

300

sur la droite des nombres :

484 + 300

784

⇥

Δ = 784

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

r_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-22) - \sqrt{784}}{2 \cdot 1}

⇥

r_{1} = \frac{22 - \sqrt{784}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{784}

28

;

28^{2}

784

⇥

r_{1} = \frac{22 - 28}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

22 - 28

-6

⇥

r_{1} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{6}{2}

-3

⇥

r_{1} = -3

⇥La formule du second degré donne

r_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-22) + \sqrt{784}}{2 \cdot 1}

⇥

r_{2} = \frac{22 + \sqrt{784}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{784}

28

;

28^{2}

784

⇥

r_{2} = \frac{22 + 28}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

22 + 28

50

⇥

r_{2} = \frac{50}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{50}{2}

25

⇥

r_{2} = 25

▷Le facteur

(r^{2} - 22 r - 75)

se factorise en :

(r + 3) \cdot (r - 25)

▶Expression factorisée :

(r + 3) \cdot (r - 3) \cdot (r - 25)