1) Factorisons dans $ℝ$ : $r^3$$-9r^2$$+15r$$+25$

⇥1.1) Essayons d'abord la valeur évidente : $r=-1$

⇥Calculons la valeur de : ${\left(-1\right)}^3$$-9·{\left(-1\right)}^2$$+15·\left(-1\right)$$+25$

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété : ${\left(-1\right)}^3$ = $\left(-1\right)·\left(-1\right)·\left(-1\right)$ = $-1$, ${\left(-1\right)}^2$ = $\left(-1\right)·\left(-1\right)$ = $1$■Multiplier par 1 ne change rien : $9·1$ = $9$■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Un seul signe moins ne s'annule pas, le produit d'un nombre négatif par un nombre positif est négatif : $15·\left(-1\right)$ = $-15$

⇥ $-1$$-9$$-15$$+25$

⇥ⓘ On part de $-1$ et on recule encore de $9$ sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro : $-1-9$ = $-10$

⇥ $-10-15+25$

⇥ⓘ On part de $-10$ et on recule encore de $15$ sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro : $-10-15$ = $-25$

⇥ $-25+25$

⇥ⓘ On part de $-25$ et on avance de $25$ sur la droite des nombres, jusqu'à zéro : $-25+25$ = $0$

⇥ $0$

⇥Racine trouvée : $r=-1$

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne : $(r^3$$-9r^2$$+15r$$+25)$ ÷ $(r+1)$

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$r^3$$-9r^2$$+15r$$+25$	$\frac{r^3}{r}$	$r^2$	$r^2·(r+1)=r^3+r^2$	$(r^3$$-9r^2$$+15r$$+25)-(r^3+r^2)=-10r^2+15r+25$
$-10r^2+15r+25$	$-\frac{10r^2}{r}$	$-10r$	$-10r·(r+1)=-10r^2-10r$	$(-10r^2+15r+25)-(-10r^2-10r)=25r+25$
$25r+25$	$\frac{25r}{r}$	$25$	$25·(r+1)=25r+25$	$(25r+25)-(25r+25)=0$

⇥Ainsi, le résultat de la division euclidienne est : $r^2-10r+25$

⇥1.3) Factorisons dans $ℝ$ : $(r^2-10r+25)$

⇥On peut reformuler l'expression en : ${(r-5)}^2$

▷Le facteur $(r^2-10r+25)$ se factorise en : ${(r-5)}^2$

▶Expression factorisée :   $(r+1)·{(r-5)}^2$