factorise x^2-y^2-4x+4 — solution étape par étape

L'expression :

x^{2}

- y^{2}

- 4 x

+ 4

contient plusieurs variables ; on choisit donc x pour la mise en facteurs

Mettons en facteurs dans

ℝ

x^{2}

- y^{2}

- 4 x

+ 4

Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -4

c = - y^{2} + 4

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- y^{2} + 4)

ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

Δ = 16 - 4 \cdot (- y^{2} + 4)

ⓘ On développe en multipliant chaque terme de la parenthèse :

- 4 \cdot (- y^{2} + 4)

- (4 \cdot (- y^{2}) + 16)

Δ = 16 - (4 \cdot (- y^{2}) + 16)

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (4 \cdot (- y^{2}) + 16)

- 4 \cdot (- y^{2}) - 16

Δ = 16 - 4 \cdot (- y^{2}) - 16

ⓘ Deux signes moins s'annulent :

-4 \cdot (- y^{2})

4 y^{2}

■On part de

16

et on recule de

16

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

16 - 16

0

Δ = 0 + 4 y^{2}

ⓘ Additionner 0 ne change rien :

0 + 4 y^{2}

4 y^{2}

Δ = 4 y^{2}

Le discriminant est un carré :

Δ = {(2 y)}^{2}

. Avec

q = 2 y

, les racines sont

\frac{- b - q}{2 a}

\frac{- b + q}{2 a}

, même lorsque q vaut 0

x1 = \frac{4 - 2 y}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{4 - 2 y}{2}

\frac{2 \cdot (2 - y)}{2}

2 - y

x1 = 2 - y

x2 = \frac{4 + 2 y}{2}

ⓘ On simplifie une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre :

\frac{4 + 2 y}{2}

\frac{2 \cdot (2 + y)}{2}

2 + y

x2 = 2 + y

Facteurs identifiés :

(x - (y + 2)) \cdot (x - (2 - y))

(x - (2 - y)) \cdot (x - (y + 2))

ⓘ Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes :

- (2 - y)

- 2 + y

- (y + 2)

- y - 2

(x - 2 + y) \cdot (x - y - 2)

▶Expression factorisée :

(x + y - 2) \cdot (x - y - 2)