factorise x^3-3x^2-10x+24 — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

x^{3}

- 3 x^{2}

- 10 x

+ 24

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = 2

⇥Évaluons la valeur de :

2^{3}

- 3 \cdot 2^{2}

- 10 \cdot 2

+ 24

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

10 \cdot 2

20

⇥

8

- 3 \cdot 4

- 20

+ 24

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

3 \cdot 4

12

⇥

8

- 12

- 20

+ 24

⇥ⓘ On part de

8

et on recule de

12

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

8 - 12

-4

⇥

- 4 - 20 + 24

⇥ⓘ On part de

-4

et on recule encore de

20

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 4 - 20

-24

⇥

- 24 + 24

⇥ⓘ On part de

-24

et on avance de

24

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 24 + 24

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = 2

⇥1.2) Calculons le quotient et le reste de

(x^{3}

- 3 x^{2}

- 10 x

+ 24)

par

(x - 2)

⇥

Expression en cours	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$ $- 3 x^{2}$ $- 10 x$ $+ 24$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2}$	$(x^{3}$ $- 3 x^{2}$ $- 10 x$ $+ 24) - (x^{3} - 2 x^{2}) = - x^{2} - 10 x + 24$
$- x^{2} - 10 x + 24$	$- \frac{x^{2}}{x}$	$- x$	$- x \cdot (x - 2) = - x^{2} + 2 x$	$(- x^{2} - 10 x + 24) - (- x^{2} + 2 x) = - 12 x + 24$
$- 12 x + 24$	$- \frac{12 x}{x}$	$-12$	$-12 \cdot (x - 2) = - 12 x + 24$	$(- 12 x + 24) - (- 12 x + 24) = 0$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} - x - 12

⇥1.3) Factorisons dans

ℝ

(x^{2} - x - 12)

⇥Vu la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, on calcule le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -1

c = -12

⇥

Δ = {(-1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

⇥

Δ = 1 - 4 \cdot (-12)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-12)

4 \cdot 12

4 \cdot (10 + 2)

4 \cdot 10 + 4 \cdot 2

40 + 8

48

⇥

Δ = 1 + 48

⇥ⓘ On part de

1

et on avance de

48

sur la droite des nombres :

1 + 48

49

⇥

Δ = 49

⇥Puisque

Δ > 0

, l'équation admet deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

⇥

x_{1} = \frac{1 - 7}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 - 7

-6

⇥

x_{1} = - \frac{6}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{6}{2}

-3

⇥

x_{1} = -3

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{49}

7

;

7^{2}

49

⇥

x_{2} = \frac{1 + 7}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

1 + 7

8

⇥

x_{2} = \frac{8}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{8}{2}

4

⇥

x_{2} = 4

▷Le facteur

(x^{2} - x - 12)

se factorise en :

(x + 3) \cdot (x - 4)

▶Expression factorisée :

(x + 3) \cdot (x - 2) \cdot (x - 4)