factorise x^3-5x^2-18x+72 — solution étape par étape

1) Mettons en facteurs dans

ℝ

x^{3}

- 5 x^{2}

- 18 x

+ 72

⇥1.1) Testons la solution évidente :

x = 3

⇥Évaluons la valeur de :

3^{3}

- 5 \cdot 3^{2}

- 18 \cdot 3

+ 72

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

3^{3}

3 \cdot 3 \cdot 3

27

3^{2}

3 \cdot 3

9

■Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

18 \cdot 3

(10 + 8) \cdot 3

10 \cdot 3 + 8 \cdot 3

30 + 24

54

⇥

27

- 5 \cdot 9

- 54

+ 72

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions :

5 \cdot 9

45

⇥

27

- 45

- 54

+ 72

⇥ⓘ On part de

27

et on recule de

45

sur la droite des nombres, en passant sous zéro :

27 - 45

-18

⇥

- 18 - 54 + 72

⇥ⓘ On part de

-18

et on recule encore de

54

sur la droite des nombres, en s'éloignant de zéro :

- 18 - 54

-72

⇥

- 72 + 72

⇥ⓘ On part de

-72

et on avance de

72

sur la droite des nombres, jusqu'à zéro :

- 72 + 72

0

⇥

0

⇥Racine trouvée :

x = 3

⇥1.2) Effectuons la division euclidienne :

(x^{3}

- 5 x^{2}

- 18 x

+ 72)

(x - 3)

⇥

Expression courante	Division des termes principaux	Quotient	Quotient × diviseur	Reste après soustraction
$x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 18 x$ $+ 72$	$\frac{x^{3}}{x}$	$x^{2}$	$x^{2} \cdot (x - 3) = x^{3} - 3 x^{2}$	$(x^{3}$ $- 5 x^{2}$ $- 18 x$ $+ 72) - (x^{3} - 3 x^{2}) = - 2 x^{2} - 18 x + 72$
$- 2 x^{2} - 18 x + 72$	$- \frac{2 x^{2}}{x}$	$- 2 x$	$- 2 x \cdot (x - 3) = - 2 x^{2} + 6 x$	$(- 2 x^{2} - 18 x + 72) - (- 2 x^{2} + 6 x) = - 24 x + 72$
$- 24 x + 72$	$- \frac{24 x}{x}$	$-24$	$-24 \cdot (x - 3) = - 24 x + 72$	$(- 24 x + 72) - (- 24 x + 72) = 0$

⇥Donc le résultat de la division euclidienne est :

x^{2} - 2 x - 24

⇥1.3) Mettons en facteurs dans

ℝ

(x^{2} - 2 x - 24)

⇥Étant donné la forme quadratique

a x^{2} + b x + c

, calculons le discriminant :

Δ = b^{2} - 4 a c

. Ici

a = 1

b = -2

c = -24

⇥

Δ = {(-2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-24)

⇥ⓘ Les puissances se calculent avant les multiplications, les additions et les soustractions. Une puissance entière est un produit répété :

{(-2)}^{2}

(-2) \cdot (-2)

4

⇥

Δ = 4 - 4 \cdot (-24)

⇥ⓘ Les multiplications se font avant les additions et les soustractions. Deux signes moins s'annulent, le produit de deux nombres négatifs est positif :

- 4 \cdot (-24)

4 \cdot 24

4 \cdot (20 + 4)

4 \cdot 20 + 4 \cdot 4

80 + 16

96

⇥

Δ = 4 + 96

⇥ⓘ On part de

4

et on avance de

96

sur la droite des nombres :

4 + 96

100

⇥

Δ = 100

⇥Comme

Δ > 0

, l'équation a deux racines :

⇥La formule du second degré donne

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{2 - \sqrt{100}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{100}

10

;

10^{2}

100

⇥

x_{1} = \frac{2 - 10}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 - 10

-8

⇥

x_{1} = - \frac{8}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

- \frac{8}{2}

-4

⇥

x_{1} = -4

⇥La formule du second degré donne

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{2} = \frac{2 + \sqrt{100}}{2}

⇥ⓘ La racine carrée d'un nombre est le nombre positif dont le carré vaut ce nombre :

\sqrt{100}

10

;

10^{2}

100

⇥

x_{2} = \frac{2 + 10}{2}

⇥ⓘ Le numérateur et le dénominateur se calculent avant la division :

2 + 10

12

⇥

x_{2} = \frac{12}{2}

⇥ⓘ On simplifie la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par

2

, leur plus grand diviseur commun :

\frac{12}{2}

6

⇥

x_{2} = 6

▷Le facteur

(x^{2} - 2 x - 24)

se factorise en :

(x + 4) \cdot (x - 6)

▶Expression factorisée :

(x + 4) \cdot (x - 3) \cdot (x - 6)